Libellus 2

¶ De quantitate libellus secundus.

QUantitas est ens depenoquo aliquid est mensurabile vel mensurans. Quantitas per se continetur sub natura et ente: ideo in eius de finitione ponitur loco generis et determinabilis: sed ens dependens mensurabile vel mensurans poibia loco differentie quae est nobis incognita.

¶ Manifestum est autem quod hec definitio conuertibilis est cum definito scilicet cum quantitate: quia dins quantitas siue perfectionis siue magnitudinis est mensurabilis vel mensurans vel per accessum: vel per recessum vel per replicationem.

¶ Et si arguas quod ratio mensure reperitur i quolibet genere sicut videtur dicere Aristo. io. metaphysice sue. 7 quod in quolibet est dare vnum primum: quod est mensura omnium aliorum. Respondeo tibi quod ratio mensure tantum quiditatiuem et essentialiter reperitur in genere quantitatis tanquam differentia constitutiua eius in aliis autem denominatiue tantum.

¶ Et si adhuc dicas quod ratio mensure reperitur in 3o modo relatiuorum. Dicitur quod non est hoc secundmo de rnensura formaliter accepta: sed tantum fundamen taliter est de genere quantitatis. Quantitas autem contraibus lis est per differentias essentiales: et sic diuiditur quantitas. alia perfectionis et virtutis. Alia extensa et magnitudinis. hoc sit eius prima diuisio: non autem illa quae est per finitum et infinitum tum quia licet finitum et infinitum quantitati congruant non tamen sunt differentiae: sed sunt potius passiones disiuncte. Dica mus autem de quantitate molis et extensa aliqualiter faciendo digressionem: quoniam per se passiones quantitatis molis i et extese non pertinent ad hanc artem. Quantitas autem talis sic diuiditur. alia continua: et est illa cuius partes conpulantur ad aliquem communem terminum sicut peartes linee ad punctum: et partes superficiei ad lineam tanquam ad terminum communem. At vero circa definitionem quantitatis continue insistendum. difficultatem namque habet magnam quo omnes partes linee possunt copulari ad punctum. Fertur autem quodomnes partes linee non copulantur ad eundem punctum numero. quoniam non ad punctum que est terminus linee: nec qui est prinictum linee: nec ad punctum qui est inm medio linee: quia ille punctus non est vnus numero: immplures: immo infiniti sicut fertur: sed pro tanto dicitur quod partes linee terminantur ad vnum terminum conmunem scilicet ad punctum: quia omnes partes lince nihil habent medium nisi indiuisibile scilicet punctum: et inter omnes partes linee semper est punctus copulans eas et continuans. Sed forte dicetur et bene: quod istud non sufficit: quia tunc omnes partes linee non sunt copulate ad vnum punctum: sed due partes linee ad vnum: et aliedue ad alium: et sic in infinitum: ideo adhuc semper remanet difficultas vbi est ille punctus vnus numeratio ad quem omnes partes linee copulantur tanquam ad terminum communem: an sit in principio linee vel in medio vel in fine.

Amplius autem: loquendo de termino communi partium linee qui punctus dicitur ad quem omnes partes copulantur: preponam distinctionem de puncto. Est namque in linea continuarealiter punctus scilicet punctus in actu: et punctus in potentia: per punctum autem intelligo quandam entitatem positiuam absolutam et indiuisibilem: et non solum carentiam linee: nam sicut linea est quoddam positiuum et indiuisibile secundum latitudinem: et superficies quod dam positiuum indiuisibile secundum profunditatem: sic et punctus est quoddam positiuum simpliciter indiuisibile. At vero per punctum in actu intelligo punctum terminantem lineam: et distinguentem: et separantem: quia actus est qui separat et distinguit: nam sicut differentia formaliter vel fundamentaliter separat et distinguit vnam speciem ab alia: sic punctus in actu vnam lineam distinguit ab alia: et talis punctus est vltimum linee: nec eam continuat: sed ea finit et terminat: et ab alia linea distinguit et separat. per punctum autem in potentia intelligo puctum coniungens partes linee adinuicem: quia inter duas partes semper est punctus in potentia medius: et iste punctus in potetia non est in fine linee nec in principio: sed in tota linea vbique per totum. Punctus autem in potentia: sic dicitur in potentia: prout hic potentia opponitur actui distinguenti et separanti: non autem vt potentia opponitur actuiessendi: quia vere punctus in potentia in linea est extra nihil et est quid positiuum existens sicut partes linee habent suam entitatem in linea. Debes namque intelligere quod punctum in actum et punctus in potentia non differunt nisi in hoc: quia punctus in actum addit supra punctum in potentia quendam respectum distinctionis et separationis formalis: nam illa eadem realitas que actu fundat distinctionem et separationem formalem ab alia parte linee: et dicitur punctus inactum si careat illa distinctione et separatione forma li dicetur punctus in potentia. Ad cuius euidentiam debes diligenter aduertere: quod quando due linee actu diuise habentes 2o puncta in actu distinguentia fundamentaliter et formaliter. fundamentaliter: quia punctus est fundamentum diuisionis. et formaliter: quia in eis est actualis et forma lis diuisio: que est relatio: vniuntur et continuantur adinuicem: tunc ista puncta remanent in linea in ponon in actu: nec remanent in actu formaliter distinguente: quia non remanet ibi formalis diuisio et separatio quaem quaedam relatio: quia prius fundabant actualem diuisionem adiuice: nunc fundant actualem indituaeet indistinctionem: et per consequens remanent in positia linea prout possibia opponitur actuindistinguenti. Remanet tamen secundum suas totas realitates: et secundum omne positiuum quod prius habebant quando dicebantur esse in actu sola separatione et distinctione formali: que est quedam relatio excepta: nam punctus in actuest vnum ens per accidens constitutum ex realitate puncti: et ex illa distinctione et separatione formali que est quidam respeetus: sed punctus in potentia est vnum ens per se ens scilicet realitas indiuisibilis de genere quantitatis. Differunt igitur sicut album et album simile. Uolo tibi ponere exemplum de materi et forma que manent in composito secundum suas realitates: et tamen dicuntur manere in potentia: sic etiam et puncta: et ideo inter duas per tes linee in continuo semper sunt 2o puncta in potentia: quia fundanitua indiuisionem adinuicem: et per actionem agentis diuidentis continuum reducitur ad actum: ad actum dico distinguentem: quia acquirunt actum scilicet actualem diuisionem que est quidam actus formaliter distinguens: cum sit quedam reluto. Realitas autem puncti absoluta non acquiritur de nouo: quia tota erit in linea continnua: et sic bene apparet quo omnes partes linee copulantur ad punctum: non in actu: quia ille tantum est in fine linee: sed ad punctum in potentia: quia iste est inter quasdam partes linee continue: non vnus numero: sed plures in actum et in potentia: sicut sunt ibi plures partes non in actu: sed in potentia. Et breuiter vniformiter est dicendum: quia puncta sunt in potentia in continuo: sicut partes: et econuerso idem est dicendum de linea et superficie et corpore quod sunt ibi in potentia et non in actu: cum enim corpora diuiduntur superficies que erant in potentia in ipso sunt reducte ad actum scilicet ad diuisionem et separationem formalem. non tamen acquirit nouas realitates ab¬ solutas per diuisionem agentis et separationem formalem: quia illas easdem habebat ante diuisionem. Dicebantur tamen ille superficies esse in potentia antce diuisionem corporis propter carentiam separationis et diuisionem abiuicem vnius ab altera.

Dubitatio autem oritur exa dictis: quoniam tunc sequitur sic ponendo quod duo puncta in linea se habent consequenr: ita quod 2o puncta erunt contigua vel continua: ex quo realitates eorum remanent in continuo: et preerant ante diuisio nem. Dissolutio autem homodo dubitationis stat in hoc: quoniam punta in linea inter principium et finem non sunt in actu: sed in potentia: et sunt vnum per indiuisionem: et per caremtiam diuisionis formalis: duo autem puncta praestenst fundare adinuicem diuisionem et indiuisionem. si fundant indituseum: tunc in rei veritate non sunt 2o in actu: sed tantum 2o in potentia: sicut materi et forma in conceto propter earum actualem indiuisionem non sunt 2o in actum: sed in potentia. Palam et autem quod sicut puncta non sunt distincta in actu in continuo: ita et partes in continuo non sunt distincte in actu in continuo: sed in potentia tantum. Unde continuum nihil aliud est nisi indiuisio partium adinuicem et puncto rum: quia inter illas partes continuas non sunt puncta distincta in actu: sed in potentia tantum: et ideo sunt continue: quia nihil earum est medium: nisi punctus in potentia: et vel tima eorum facta sunt vnum per indiuisionem. Manifestum autem est ex dictis quod linea diuiditur in puncto: et super punctum cadit diuisio et actio agentis diuidentis: et quod in linea sunt plura puncta in potentia: et forte infinita: de quo posterius fiet sermo: patet igitur quoo punctus continuat lineam. si autem realitas puncti no maneret in continuo difficile esset videre quomodo continuat lineam et copulat: et partes linee copulentur tanquam ad terminum communem ad ipsum.

¶ Adhuc autem opponitur: dicentibus quibusdam quod punctus qui copulat partes linee adinuicem non manet in continuo secundum suam realitatem: nam punctus est terminus linee diuidens et distinguens formaliter et ideo quandiu manent puncta tam diu linee distinguuntur. imaginantur naua que isti quod quando 2o linee prius diuise adinuicem vniuntur amittunt proprias terminationes: et per consequens propria pucta eorum: quia manent interminata et indistincta adinus uicem: et nec manet formalis diuisio eorum que est quedam relatio et fundamenta diuisionis secundum suas realitates: et in diuisione lteee fit oppositum: quia acquirunt partes linee nouas realitataes punctorum: quantum est ad illud quod dicunt absolutum. et per consequens quantum ad respectum distinctionis consequentem.

¶ Et si arguas contra eos quois est punctus continuans partes linee: et ad quem plures linee copulentur dicunent quod non est punctus linee qui est in actu in fine linee: quia ille diuidit et separat et distinguit: sed est punctus fluens causans lineam: fertur namque ab istis quod Arsto. et sui sequaces imaginentur quod sit quidam punctus continue fluens qui per suum fluxum causet lineam: sicut nunc troes: et in tali fluxu fuerunt omnes partes linee aliquando copulate ad illum punctum successiue. completo autenmfluxu punctus ille non manet nisi precise in fine linee.

¶ Palam autem quod istud non stat cum dictis Ari. in 6 phy. primo et 5 physi. 26. vbi diffinit contis. d. contiua sunt quorum vltina sunt vnum. vocat autem ibi vltimum punctum. quorum igitur vltima id est puncta prius actu diuisa facta sunt vnum per indiuisionem: illa sunt continuma. si autem vltima in tali vnione partium adinuicem componerentur et non manerent secundum suas realitates non fieret ex eis vnum punctum: et per consequens vnum vltimum per indiuisionem: quia indiuisum necessario requirit extrema indiuisionis. Con¬ tigua autem diffinit sic. quod ilia sunt contigua: quorum vltima sunt simul. simul dico in situm absque hoc quod vnum sit indiuisum ab alio: immo cum simultate situs stat quod vnum sit diuisum ab alio. Concludamus igitur quod priorvia de copulatione linee ad vnum terminum communem id est ad punctum in potentia: quod secundum suam realitatem in linea maneat: probabilior apparet quam 2a: qui mlius scit copulare partes continui ad vnum terminum communem id est ad punctum copulet si velit.

Dubitatio autem comuis de diuisione contnui in infinitum an non: et compositione eiusdem: an ex punctis vel ex indiuisibrius et minimis: autem ex semper diuisibilibus: et in semper diuisibilia vel non: vetus querela est: de hoc enim varie locuti sunt sapientes.

¶ Primum igitur perscrutemur de compositione continui. Deinde de eius resolutione si haa beat statum vel non. De compositione namque continui sunt 3a dicta disperata antiquorum et modernorum philosophorum. prium dictum est. quod continuum est copositum ex punctis. 2m quod continuum est compositum ex indiuisibilibus de genere quantitatis: non tamen ex punctis: sed ex quantitatibus indiuisibilibus in alias quantitates. 3m dictum. continumum est compositum ex quantitatibus diuisibilibus in alias quantitates. Dicamus autem in primis: an continuum sit conpositum ex punctis. 4m dictum est Ari. quod continuum non est compositum ex indiuisibibus: sed ex partibus diuisibilibus in semper indiuisibilia. primum dictum est platonicum quod linea est composita ex punctis: et superficies ex lineis: et corpus ex superficiebus. 2m dictum est democtriti quod continuum est compositum ex quantitatibus indiuisibilibus: vt corpus ex indiur sibilibus corporibus: vt ex athomis quae sunt corpora indilis. superficies est secundum eum compotentia ex superficiebus indiuibuus: et liex lineis indiuibuus: non autem ex punctis: sicut dicebat plato.

¶ Adhuc autem Ari. posuit quod continuum erat compositum ex infinitis partibus diuisibilibus in infinitum: et hoc inue hendo contra plctionem et democtritum: qui ponebant quod continuum erat compositum ex finitis partibus indiuibuus. Et feriquod Arist. hoc gratis posuit: quia quasi in omnibus voluit condicere plectioni: sicut patet: quia propter hoc quod plato posuit quod indiuisibile potest moueri: et quod idem potest mouere seipsum: et quod anima est numerus seipsum mouens. Arist. voluit ei contradicere et ponere oppsitum: sic et in ista conclusione voluit contradice re plctoni de compositione et diuisione continui. Dicamus ert in primis motiuum Arist. et suas rationes et sequacium suorum ad conclusionem suam quod continuum sit compositum ex partibus diuisibus et non ex indiuisibilibus. Prima igitur ratio sit talis: consunt illa quorum vltima sunt vnum. indiuisibilia non habent vel tima: ergo no possunt esse continua: patet: quoniam aliud est vltimum et illud cuius est vltimum. Secunda ratio sit talis: componem tia continuum sunt se tangentia tactum continuitatis. indiuisibilia non se tangunt: quia nec secundum se totum: quia non facerem taliquid maius: nec secundum pertem: quia indiuisibile non habet partem. Tertia ratio sit talis: si continuum componeretur ex indiui sibilibus: sequeretur quod indiuisibilitate diuideretur: et hoc sic probatur. Moueatur aliquod mobile super aliquam magnitudinem compositam ex tribus indiuisibilibus: et hoc in tempore composito ex tribus instantibus: datis duobus mobilibus: quorum vnum sit in 2o velocius alio: et reliquum tardius in 2o: velocius mobile mouebitur super eandem in metaphystae teporis: et sic in vno instanticum dimidio. Mobile autem tardius in illo instanti cum dimidio mouebitur super medietatem magnitudinis: et sic super vnum indiuisibile cum dimidio: et per consequens sequitur quod indiuisibile diuidetur.

Amplius autem conlus demonstratiou bus demonstratur conti nuum non esse compositum ex indiuisibilibus: et sunt rationes algamelis in 6 sue metaphisice. tractatum primo. Et sit prima demostratio talis: quoniam tunc sequeretur quod tres vel mille partes continui essent simul. ponantur enim tria indiuiblius: quorum alterum sit inter 2o alia: tunc quodlibet indiui sibile extremum tangit medium indiuisibile: vel ergo vnum idem quod aliud: vel non si idem. ergo quodlibet indiuisibile extremum penetrat meditua: et sic 3a indiuisibilia sunt simul: et eodem modo probaretur de. iooo. indiuisibilibus si quodlibet extremum tangit aliud et aliud medii: ergo meindiuisibile habebit partes: quia aliud et aliud. Secunda de monstratio talis viri est. ponantur quinque indiuisibilia conpositiua lineam: et super extremitates illius linee ponantur 2o indiuisibilia: que incipiant simul equaliter moueri: tunc in eodem tempore quousque communiungantur: et hoc posito vnumquodque indiuisibile secabit partem de medio in diuisibili linee: ergo indiuisibile medium linee diuiditur: aliter sequitur illa indiuisibilia mota non posse sibi occurrere motum equali. ista ergo demonstratio ducit ad istud inconueniens quod indiuisibile diuidetur. 3a demonstratio illius talis est: si continuum non sit diuisibile in infinitum: et in semper diuisibilia: sequitur quod dyameter et costa sunt equales: consequens est impossibile: ergo et antens: probatur consequentia: quoniam positis. 16. substantis indiuisibilibus continuis in figura quadrati: quattuor in quolibet latere: vt patet in hac figura: tunc quolibet costa quadrati erit quattuor indiuisibilium: et sic dyameter erit quatuor indiuisibilium. falsitas consequentis patet ad sensum. omnis enim dyameter secans quadratum in duos angulos equales maior est quolibet latere. Adhuc sunt differentones nouorum philosophorum ad conclusionem praedictam: quarum prima est talis: si continuum esset compositum ex indiuisibilibus vel posset resolui in indiuisibilia maior circulus et minor circulus essent equales: consequens est impossibile: ergo et antens: consequentia probatur: quia descriptis duobus circulis in superficie plana super idem centrum: vnus maior includens et alius minor inclusus: protrahantur due linee a centro ad duo pucta immediata in maiori circulo: ille secabunt minorem circulum: autem in duobus punctis immediatis: et tunc sequitur quod quot sunt puncta in maiori tot sunt in minori: et sit pars equalis toti: et minus maiori: quod est conltra illam maximam: quod omne totum est maius sua parte: Aute secabunt minorem circulum in puncto: et tunc indiui sibile diuidetur: sequitur est vlterius quod angulus totalis erit equalis angulo qui est eius pars: sicut patet. in speciali declaratur sic: ille punctus sectionis minoris circuli vocetur. a. super quem erigatur vna linea 3 perpendiculariter cadens super. a .b. constituet angulum rectum cum linea. a. d et per consequens alium rectum. d b. etiam cum linea. c. d. ergo angulus constitutus ex linea recta: et ex linea. d .b. est angulus totalis ad angulum constitutum ex eadem ltnea erecta. cum linea. d. c. et illa erit maior: quia continet ipsum: et vltra vnam lineam: nec potest dici quod due linee exeuntes a centro ad duo puncta immediata. .b. c. in circumferentia maioris circuli secant circumferentiam minoris circuli in eodem puncto. Adhuc autem non potest dari secundum: quia tunc minor circulus esset maior maiore: ergo oportebit dare primum: scilicet quod ille due linee secabunt circumferentiam minoris circuli in duobus punctis immediate se habentibus: et tunc sequitur impossibile: quod prius fuit positum in entimemate principali scilicet quod minor circulus erit equa lis maiori: et econuerso: quod apparet per illpter regulam. quecumquam tota constantia ex partibus magnitudine et multitudine equalibus ipsa sunt equalia: sed stante ypothesi pertes minoris circuli et maioris sunt equoles in magnitudine: quia omnia indiuisibilia sunt equa lia: et multitudine: quia cuilibet puncto in maiori circulo. correspondet alius punctus in minori circulo: et non plura etc. Demostratio secunda talis est: si continuum esset compositum ex indiuisibilibus et dyameter et costa eiusdem quadrati essent equales: consequens est impossibile: ergo et antecens: consequentia probatur sic: quoniam acceptis ducbus punctis immediatis in vna costa: et ab illis duobus ductis duabus lineis rectis ad duo puncta immediata primis duobus opposita in altera costaiste due linee secabunt diametrum in duobus punctis immediatis: et ita si vtraque costa resoluetur in puncta: dyameter resolueretur in totidem puncta: non plura nec pauciora: quia dyameter et costa essent equales. per regulam supra positam.

Dissolutio autem istarum demonstrationum: licet sit difficilis: cum partim sit mathaecphysica et partim naturalis. non tamen videtur impossibi lis. Dicamus igitur quod ratio prima non concludit: que accipit quod continua sunt illa: quorum vltima sunt vnum indiuisibilia non habent vltimum: ergo non possunt continuari. Respondeo tibi quod indiuisibilia sicut puncta non habent vltima accipiendo vltimum pro parte vltma et pro puncto: quia punctus non est terminus vltimus intrinsecus alterius puncti: sed punctus bene habet vltimum pro vltima differentia situs scilicet pro ante et retro: quoniam autem vnius puncti est vnum cum centro alterius pucti: et hoc non est impossibile.

¶ Et si queras an iste differentiae situs: ante et retro: que sunt in puncto an differunt formaliter an realiter a puncto: fertur quod non: sed tantum distinguuntur quiditatiue. Ad cuius euidentiam diligenter aduertas: quod indiuisibile secundum partes sicut est punctus: est distinguibile et determinabile secundum differentias respectiuas loci vel temporis: quod declaratur in 5 generibus indiuisibilium quantitatiue. Palam autem de superficis que est iam indiuisibilis secundum dimensionem profundamenter quia ipsa diffinitur et determinatur per intra et extra. corpus enim superficiatum est totum intra superficien. corpus autem tangens praedictum superficialiter in superficie est totum extra superficiem. inter corpus autem quod est intra superficiem: et illud quod est extra superficiem nihilt est: nisi superficies indiuisibilis existens que medium est inter predicta corpora: et tamen cum hoc distinguitur per intra et extra que sunt differentiae respectiue contractiue lociAt vero de linea circulari quae est indiuisibilis secundum latitudinem: distinguitur tamen per conuexum et per concauum. ita quod inter conuexitatem et concauitatem nihil est nisi lineacircularis: cuius hec sunt due proprie passiones: heautem passiones non possunt inesse linee ex eadem parte vel secundum eandem differentiam. non enim potest esse linea simul concaua et conuexa a dextris et sinistris. in sursum vel in deorsum. Palam hoc idem de linea recta: quoniam cadens super lineam rectam non intersecans eam constituit duos angulos rectos ex altera parte linee tantum: et non ex altera scilicet a dextris et non a sinistris. Adhuc idem apparet de puncto accepto in centro terre et terminante fundamentum quie venit ex altera parte scilibet dextra: et non terminans actu semidiametrum quie venit ex sinistra: et ille punctus habet terminationem dextror sum et non sinistrorsum: et ante et non retro: et sic de aliis differentis. Hoc idem patet de instanti temporis: quoniam sic est finis preteriti et initium futuri quod non est initium praeteritiet finis futuri: sed non finis preteriti et initium futuri: quare respectus initii et finis sunt alii et alii termi ni Hoc enim patet de mutato esse quod est indiuisibile: et ter¬ minus motus: nihilominus tamen possunt continuare motum posteriorem motui precelienti. igitur mutatum esse habet in se continuationem et terminationem motus prioris et inchoationem motus sequentis. ista igitunr genera indiuisibilium predicta sunt distinguibi lia et determinabilia per istas differnias predictas sinistrum deorsum: ante et retro: sursum dextrum. 2a ratio quod componentia continuum se tangunt: autem secundum totum autem secundum partem. dicitur quod non tangunt se indiuisibilia nec secundum totum: nec secundum partem: cum nullam hebeant partem. Si autem sit quodo de illis differentis respectiuis quae sunt antece et retro dextrum etc. isto modo dicitur quod indiuisibile non tangit aliud indiuisiblite secundum setotum. Ratio 3a non concludit cum dicitur quod sequetur quod indiuisibi le diuidetur. Respondetur quod non sequitur: sed tantum quod diuisio fiet in indiuisibili: quod conceditur. vel dicitur scilicet quod sic diuidetur quo ad illas differias quae sunt ante retro. Aliter dicitur quod concetum ex tribus indiuisibilibus potest diuidi in partes equales: quia diuisio fit in vno indiuisibili: quod per diuisionem abiicitur: et alia 2o indiuisibilia separata remanent.

¶ Et si quaras. an concetum ex duobus indiuisibilibus possit diuidi. dicitur quod non. sic tantum quod ambo indiuisibilia maneant: sed bene diuiditur per anihilationem vnius puncti. si hoc non placet: soluetur inferius ex dicendis.

Amplius autem ad rationes algazelis nunc dicamus: nam cum primo dicitur quod omnia indiuisibilia erunt simul cum se tangant secundum se medium et extremum. dicitur quod vnum indiuisibile tangit aliud secundum ante. et aliud secundum retro. 2a non concludit: quia diceret quod indiuisibilia contria se mota supra lineam conceta ex scate indiuisibus occurreret sibi in mecetia: ita quod quando vnum tangit aliquid medii indiuisibilis reliquum tangit retro: et tuc occurrunt ibi illa 2o indiuisibilia. At vero demonstratio 3a de. 16. magnitudinibus equalibus et indiuisibilibus non concludit: sed habet plures defectus. primus. quia supponit quod aliqua magnitudo possit componi ex paribus indiuisibilibus: quod non est verum secundum aliquos: sed tantum ex imparibus: et ideo suppotonit opsitum dicti eorum et ideo ratio videtur peccare. secundus defectus. quod supponit quadratum componi ex. 16. indiuisibilibus: et ipse vtitur postea in¬ 4o ex. 24 indiuisibilibus. si enim quelibet costa componatur ex quattuor indiuisibilibus erunt. 16. indiuisibilia in quatuor costis: et in quolibet diame tro erunt quatuor: et sic. 2 4 indiuisibilia. tertius defcumsest: quia supponit quod quelibet costa sit composita ex quatuorindiuisibilibus: et hoc est impossibile: quia licet diameter componatur ex quatuor indiuisibilibus costa non componitur nisi extribus: quod patet: quia si ponatur quod quadratum cuius quodlibet latus est quatuor indiuisibilium et describatur diameter: et terminet ad costan: ex qualibet parte accipietur vnum indiui sibile: et sic non remanebunt nisi tria indiuisibilia: in lateribus terminantibus alium diametrum si describerem tur 2o in 4o. quartus defectus: quia impossibile est dare 4m: cuius omnia latera sint composita ex quatuor indiuisibi libus: quano in medio includatur aliqua magnitudo extensa alia a quatuor lateribus: et in illo spacio intermedio protendetur diameter. quitus defectus est: quia infra descripta per eum latera habent quatuor indiuisibiliua summedo quemlibet conum pro vno indiuisibili et comnumerando omnes conos in cir cuitum: non inuenies nisi. 12. indiuisibilia ex quibus impossibile est componere 4um: cuius quodlibet latus sit quatuor in diuisibilium nisi forte replicando bis quemlibet conum. vnde ex. 12. indiuisibilibus non fit 4m licet posset fieri quadrangulus: vt patet in figura sequenti: licet enim vnum 4 in quantitate continua posset esse duplum ad aliud 4. non tamen in numeris. Ee monstrationes autem nouorum philosophorum non concludune prima que est de duobus circulis descriptis superidem centrum: quorum vnus est includens et alius inclusus. Hic dicitur quod istimet habent dissoluere istas demonstrati ones: quia ista eadem inconuenientia sequuntur ponendo quod contintum sit diuisibile in infinitum: et in semper diuisibi lia: quia tunc tot erunt partes et puncta in minori circulo quot in maiori: quia in quolibet sunt partes infinite: et pucta infinita secundum eos. Soluant igitur isti predictas demonstrationes. si demonstrones dici debent. Attamen aliter est dicendum: quod si linee secent circulum minorem in puncto: tuncangulus totalis erit equalis angulo partiali qui est eius pars: vt asserunt. Respondeo tibi quod sunt equales quantum ad spacium diuisibile interceptum. non tamen quantum ad omne interceptum siue diuisibile siue indiuisibile.

¶ Et si dicas omnes anguli recti sunt equales: anguliautem isti: quorum vnus dicitur totalis et alius partialis: ambosunt recti. Respondeo tibi quod omnes anguli recti sunt equales qui constituuntur ex vna linea recta cadenteperpendiculariter super vnam aliam rectam tantum. Si autem cadat super duas vel tres suppositatas. non optet quod sint equales.

¶ Adhuc autem manifestum est quod ista inconuenientia sequuntur ponentibus continuum diuidi in infinitum. et hoc sic: protrahantur due linee vtriusque circuli: et terminentur ad circumferentiam maioris circuli in duobus punctis in potentia immedisicae. dictum enim fuit supra quod tota realitas punctorum remanet in linea continua circulari. ego videtur quod realitas cuiuslibet puncti posset terminare per se lineam distinctam. ille enim linee secabunt minorem circum lum: autem igitur in vna realitate vnius puncti autem in duabus realitatibus duorum punctorum in potentia. sidetur 2m tot realitates punctorum erunt in minori circum lo quot in maiori. Si detur primum sequitur primo quod indiuisibile diuidatur. secundo sequitur quod angulus totalis erit equalis angulo partiali eodem modo sicut tu demostras. per idem patet ad instantiam de 4o et diametro. Concludamus igitur quod positio peripateticorum de deuisione continui in semper diuisibilia non est necessaria: immo nec est videtur vera.

Perscrutandum est autem secundario de constitutione continui: et eius diuisione secundum plctonicos qui ponunt quod continuum est conmstitutum ex partibus finitis non infinitis: vt linea ex punctis numero finitis: quod sic primo demonstratur. in ordine essentiali depenondi est status ad aliquod primum in ordine illo non dependens ab aliquo alio in eodem ordine: sed totum continuum dependet essenuitusr a medietatibus: et ille medietates ab aliis medietatibus: ergo necesse est stare ad aliquod primum simpliciter independens: ista est demostratio aristo. in. 2. metaphysice textum commenti 5 vbi probat statum in omni genere causarum. ergo ista demonstratio est vera primis principiis metaphysiceuer in sua veritate manentibus: manente etiam essentiali ordine rerum essentialem enim dependentiam intelligo illam in qua sic posterius dependet a prioriquod contradictionem implicat posterius esse sine priori. minorem huius rationis probo: quia vnus cubitus dependet a duobus semicubitis sic quod contradictionem implicat cubitum esse et semicubitum non esse. Similiter contradictionem implicat quod totum sit: et partes eius non sint. 2o idem probatur sic tali consequentia: omnes partes continui diuisibiles sunt causate in genere cause malis atque composite: ergo impossibile est causs esse non existentibus rebus primis simplicibus non causatis neque compositis. si autem ille cause essent diuisibiles non essent simpliciter simplices nec incausate: quare oprtet eas esse simpliciter indiuisibiles. Demostratio ter¬ tia platonicorum sit talis: omne totum compositum ex magnitudinibus multitudine infinitis sicut conponitur cubitus ex duobus semicubitis est magnitudo actu infintua: sed nullum continuum est magnitudo actuinfinita: ergo nullum continuum est totum compositum ex magnitu dinibus multitudine infinitis: nec per consequens esset diuisibi le in infinitas magnitudines. ergo erit status in diuisionibus. Demostratio quarta sit talis. omnis magnitudo excedens in infinitum aliquam magnitudinem est actu infinita: sed magnitudo habens partes actu infinitas excedit in infinitum aliquam magnitudinem: quia quamlibet partem sui excedit in infinitum: ergo talis magnitudo est actuinfinita. Alia demostratio platonicorum per viam resolutionis: quoniam continuum esse diuisibile secundum quodlibet signum est possibile: et sic poterit esse diuisum secundum omnia puncta. Dicamus ergo quod poitio platonica differt a pofitione peripateticorum in multis. Primum autem in hoc differt: quoniam arist. ponit quod in nulla magnitudine est aliqua pers simpliciter prima. Plato autem ponit oppositum dicens quod in magnitud ine finita est aliqua pers simpliciter prima et illa est omnino diuisio indiuisibilis. Fertur autem quod magis videtur rationale quod in omni magnitudine vndique terminata sit aliqua pere ita prima quod ea non sit altera prior: quoniam aliter non est bene intelligibile quod illa magnitudo sit vndique terminata. 2m quod sequitur ad potionem Arist. est quod in nullo motuest aliqua pars simpliciter prima: immo ante omne mutatum esse est motus: et ante omnem motum est mutatum esse. plato autem ponit oppositum: et quod est dare in motu primum mutatum esse et primm partem motus. Fertur autem quod magis videtur rationale quod in omni motu sit aliqua pars simpliciter prima scilicet vna indiuisibilis numero quam oppsitum: quoniam aliter posset probari de quolibet motu quod nunquam incepit: quia ante quodlibet illius motus fuit mutatum: et ante illud mutatum esse aliquis motus: et ita retrocedendo esset abire in infinitum. Tertium quod sequitur ad opinionem Aristo. quod nunc non est tempus: nec paretemporis. ad positionem autem platonicam sequitur opsitum scilicet quod nunc est pars temporis. Fertur autem quod magis rationale vt quod nunc quod solum habentur de tempore et nihil aliud: immo ipsum nuc est tota substantia temporis quod sit pars eius quam quod non sit pars: quod apparet: quia cum dicimus de preterito quod fuit: necessario est id preteritum sic se habuisse ad esse: quod fuit verum dicere quod est. de nullo autem toti praeteriti fuit aliquando verum dicere quod est actu nisi solum de ipso nunc: quare vt quod nunc sit pars tperis: immo quod nihil sit pars temporis nisi pro quanto includit ipsum nunc. Quartum quod sequitur ad ponem peripateticorum est istud: quod diui sibilitates totius continui non sunt plures quam alicuius partis continui: immo quod in centum mille annorum non sunt plura instantia quam in vna hora: nec sunt plures partes in mille leucis vel in toto mundo quam sint in vno grano milii. Cum vtrobique sint infinite. nulla autem multitudo siue pluralitas potest intelligi maior multitudine infinita:

¶ Ad positionem autem platonicam sequitur oppsitius. Primum autem videtur omnino irrationale.

¶ Secundum autem videtur consonum valde rationi. Quintum. quod sequitur ad potionem peripateticam est istud: quod nullus intellectus siue finitus siue infinitus: immo nec prime intellites potest scire quot partes determinate in contis: quia tunc cegnitoeeresotiue continui in omnes partes suas: quod est impossibile stante ipothesi: quia tunc diuisio terminaretur ad vltimas partes. si ignitur quolibet pers est adhuc diuisibilis. diuisio nondum terminata est et ita nondum habetur quot sunt partes: quia quelibet pare adhuc includit infinitas partes: et queli¬ bet istarum infinitarum numero adhuc includit infinitas. Ad positionem autem plationicam sequitur obituv scilicet quod intellectus prime intelligentie sit determinare certum numerum partium. quas posuit in continuo. Fertur autem quod istud est magis consonum rationi quam primum: quoniam irralie videtur quod prima intelligentia posuerit sua virtute actiua omnes partes continui in esse reali: et tamen intellectus non possit eas ponere in esse cognito: nec apprehendere. Palam autem ex dictis quod positio platonica de constitutione continui est magis probabilis quam positio peripathetica.

Democriti autem opinio de constitutione continui in aliquibus conuenit cum vtroque et in aliis contradicit: conuenit cum peripatheticis in duabus propositionibus. prima. quod quelibet pars continui est continua: de partibus per accidens non autem de partibus per se et omnino primo primis. 2o quod continuum est diuisibile: ita quod diuitas est per se passio continui: et quandium manet ratio continui semper erit diuisilte: nec dicere intendit Democritus quod omne continuum sempersit diuisibile in alia continua: quia tunc concordaretur cum peripatheticis: sed quod est diuisibile in aliquas realitates. Democritus autem cum platone conuenit inhoc: quod continuum est contum ex indiuibuus: non tamen ex quibuscumque indiuibluus: sed ex indiuisiblribus eiusdem speciei¬. vt linea ex indiuisiblibus lineis: et superficies ex indiuibus superficiebus: et corpus ex indiuiblribus corporibus scilicet ex athomis. plato autem ponit quod continuum componebatur ex indiuisibilibus eiusdem generis: non autem eiusdem speciei. vt linea ex punctis: et superficies ex lineis: et corpus ex superficiebus. At vero quoniam sicut fertur. opinio Democriti de constitutione et resolutione continui fuit magis ratiolis quam peripatheticorum seu platonicorum. de ipsa specialiter perscrutandum.: Positio autem que democrito imponitur fuit ista. Imaginatur namque democritus: quod sunt duo genera quiditatis. vnum quod fundatur super vnam realitatem simplicem et indiuisibilem in alias realitates: sicut forte est quiditas materie vel forme: vel quiditas intelligentiarum: que est simpliciter simplex: sic quod non resoluitur: nec potest resolui in plures realitates. Senus 2m quiditatum est: quod est aliqua quiditas que fundatur super concursum plurium realitatum: sic quod vna dempta non manet nec nomen: nec definitio: nec quiditas illius rei: cuiusmodi sunt quiditates omnium compositorum ex materia et forma. Humanitas enim non sundatur super vnam realitatem simplicem: sed super concursum duarum realitatum: anime scilicet et corporis. quarum vna dempta non manet nomen: nec definitio hominis: quia separata anima: non manet homo. similiter corpore corrupto anima remanente non manet homo. Similiter quiditas lapidis et cuiuslibet compositi fundatur super concursum plurium realitatum: hoc etiam apparet de quiditatibus illorum que fundantur super concursum plurium realitatum. quarum vna dempta non manet nec nomen: nec definitio elementi. hoc idem apparet de formis mediis inter contraria: vt tepidum inter calidum et frigidum: et pallidum inter album et nigrum: de quibus dictum est. 4. metaphysi. capite 2o Ad propositum autem reuertentes dicamus: quod quantitas continua pertinet ad 2m genus quiditatis: quoniam fundatur super concursum plurium realitatum. quarum vna dempta non manet: nec nomen: nec definitio continui. Exemplum tibi pono: quoniam quiditas linee fundatur supra concursum plurium realitatum. quarum vna dempta non manet nec nomen: nec definitio linee: quia nulla illarum realitatum est per se linea: sed est bene aliquid linee: sicut corpus non est homo: sed est bene aliquid hominis. Nec intelligit democritus quod ille realitates: super quarum concursum fundatur quiditas linee sint realitates punctorum: quia tunc comincideret cum platone: sed intelligit quod sunt omnino alterius rationis et ordinis a realitatibus punctorum. Similiter est dicendum de superficie et corpore suo modo. Manifestum est autem quod talis quiditas continua sic fundata super concursum talium realitatum: que sunt alterius rationis et ordinis est vnum indiuiduum in genere quantitatis omnino indiuisibile in plura indiuidua quantitatis. Diuisibile tamen in plures realitates. quarum nulla est ipsa: sed est tantum realitas partialis alicuius indiuidui de genere quantitatis: sicut lapis est diuisibilis in materiam et formam tanquam in duas realitates. quarum nulla est lapis. Palam autem quod talis quantitas continua sic resultans ex illis realitatibus indiuisibilis in plures quantitates: licet diuisibilis in plures realitates: habet duo vltima scilicet duo puncta in actu: infra que clauditur tamquam infra terminos suos: et illa quantitas potest alteri continuari quantitati. si vltima eorum sint vnum per indiuisionem: et tangent se iste due quantitates indi. uisibiles secundum aliquid sui et secundum vnam realitatem et non secundum totas: quia non secundum ambas realitates: vel fiet contactus secundum puncta et non secundum illas realitates: et talis quantitas 3a resultans ex istis duabus quantitatibus indiuisibilibus est quoddam continuum diuisibile in plura continuain plures quantitates: et est quedam magnitudo habens partes quantitatiuas et partem extra parte et determinatum et distinctum situm partium.

habet autem dubitationem: quoniam videtur quod quelibet pars continui: immo omnes partes sint eiusdem rationis: ergo si vna est diuisibilis in plures quantitates et plura continuaet alia et omnes: et dissolutio huius stat in hoc: quod in quantitate sunt partes per se et partes per accidens: partes autem per se sunt ille realitates que non habent nec nomen: nec diffinitionem quantitatis. Alie sunt partes quantitatis per accidens. et sunt ille que habent nomen et definitionem quantitatis. Accidit namque linee vt linea est quod sit constituta ex pluribus partibus. quarum quelibet sit linea: sed de per se ratione linee vt linea est: est quod sit constituta ex pluribus realitatibus. quarum nulla est quantitas: nec sine talibus partibus potest reperiri linea. sine autem aliis bene potest.

¶ Et si queras: an linea vel aliquid aliud continuum sit diuisibile in semper diuisibi lia et in infinitum et habeat partes infinitas.

¶ Respondet tibi Democritus quod non: sed omne continnuum actu finitum potest resolui vsque ad indiuisi bilia continua: diuisibilia tamen in aliquas realitates et finaliter deueniretur vsque ad indiuisibilia simpliciter: et in hoc videtur concordare Aristo. de continuo naturali: quoniam in primo physicorum 3. commento. et. 2. de anima. 42. dixit quod est deuenire vsque ad minimam carnem.

¶ Et si dicas: quod Aristo. dicit quod continuum est diuisibile in infinitum.

¶ Respondeo tibi quod accipit ibi continuum: in potentia in infi¬ nitum diuisibile: cuius semper est aliquid extra accipre. et hoc secundum sensum: quia vix potest fieri diuisio per naturam: vsque ad illa indiuisibilia: cum semper sit aliquid diuidendum: licet secundum veritatem si posset diuidicontinuum quantum diuisibile est: staret diuisio quantiad indiuisibilia. Palam autem ex dictis quod puncta in linea non se habent consequenter: nec sunt continua: quia semper inter duo puncta est linea media diuisibilis vel indiuisibilis. Conformiter autem est dicendum de superficie et corpore. Adhuc autem de tempore et motum similiter est dicendum: quia motus componi tur ex motibus indiuisibilibus in alios motus: diuiditur tamen in plures realitates motus: et quilibet motus siue diuisibilis siue indiursibilis semper clauditur inter duo mutata esse: nec est motus diuisibilis in infinitum: nec sunt infinita mutata esse in motu sed finita. similiter autem de tempore: tempus componitur ex pluribus temporibus diuisibilibus in plura tempora per accidens: sed per se tempus componitur ex pluribus realitatibus temporis et tale tempus in plura tempora indiuisibilite est totum simul in actu et clauditur inter duo nunc: et raptim transit: et sibi aliud tempus indiuiblte succedit: et inter illa 2o indiuisibiliua est tempus nunc: quod ista continnuat: et iterum illud rentaptim transit et aliud sibi suc cedit: et sic de aliis. Concludimus ergo cum Democrito: quod omne continuum est compositum vltimate ex indiuisibilibus: et in illa vltimate resoluitur: nec est compositum ex infinitis indiuisibilibus: sed exnumero finitis. Adhereas cui volueris vel peripatheticis vel platonicis. Democritus tamen videtur loqui rationabilius.

Digressio secunda est de quantitate discreta scilicet de numero et vnitate: et de vnitate quidem dictum est ino metaphysi. capite primo: et in hoc concordant omnes philosophi antiqui et moderni: quod vnitas est indiuisibilis: quia vnum esse est indiuisum esse: sed hic diligenter aduerte quod hoc intelligitur secundum considerationem mathemahysicam prout vnitas abstrahit ab omni materia sensibili: quoniam alias non esset verum quod vnitas sit omnino indiuisibilis: quia vnitas qua lignum est vnum: et que subiectiue est in ligno diuisibilis est ad diuisionem ligni: sicut etiam alia accidentia ligni: et sicut lignum diuiditur in ligna: sic vnitas ligni in alias vnitates: vt autem mathematice consideratur sic est vnitas indiuisibilis et vnum esse est ind iuisum esse. De numero autem quid sit. et an sit in rerum naturaextra animam. de hoc varie loquuntur sapientes. Et de hoc sunt quinque dicta disperata. Primum. quiditas numeri verum est ens extra animam: quia species praedicatiue realis. Sed nec ista ratio sufficit plaribus: quod omnia que vere sunt in predicamento sint res extra animam: quoniam decem predicamenta abstrahunt ab esse existentie et ab esse reali. Secundum dictum est. quod numerus est quedam entitas relatiua existens extra animam: sicut dualitas est quedam relatio que fundatur super sortem et platonem et terminatur ad humanitatem: que numeratur in ipsis.

¶ Sed nec istud dictum apparet necessarium: quoniam communis schola tenet quod quantitas sit predicamentum absolutum: cum quantitas sit fundamentum et subiectum qualitatis que est predicamentum absolutum. Tertium dictum est quod numerus est que¬ dam quantitas discreta: que vt fertur est quedamm: quantitas extra animam: que fundatur super plures realitates: non vt coniuncte: sed vt disiuncte et discrete et separate abinuicem: vt super realitatem quandam existentem in sorte: et super aliam in platone fundatur dualitas: et super istas et super illam que est in lapide fundatur trinitas: et sic de aliis. At vero istud tertium dictum est valde dubium: quia non videtur verum quod super res sic separatas possit fundari aliqua quantitas per se vna scilicet perseitate primi modi. Quartum dictum est quod numerus non est aliud nisi intellectio numeri: cum numrerus non habeat esse nisi tantum obiectiue in anima. Sed nec istud habet apparentiam: cum intellectio sit de capitulo qualitatis. Numerus vero quantitatis. Tam quia intellectio est qualitas mere spiritualis: numerus vero vt fertur est obiectum sensus. Quintum dictum disperatum est: quod numerus vere est quedam entitas positiua existens in praedicamento quantitatis. Quantitas tamen predicamentalis abstrahit ab existentia reali et ab existentia in anima: sed sunt quedam quantitates: que sunt trahibiles ad vtramque existentiam: sicut linea superficies. Quedam autem vt fertur tantum sunt trahibiles ad existentiam in anima: et nunquam ad existentiam extra animam: licet sint sic quantitates et habeant ab eterno verum esse quiditatiuum: non tamenpossunt trahi ad existentiam extra animam: nec est alia ratio: nisi quia hoc est hoc: et talis quantitas est numerus: que vere est quantitas habens esse ouiditatiuum ab eterno: non tamen trahibilis est ad elaistentiam realem virtute cuiuscumque agentis: sed tantum ad existentiam diminutam scilicet ad existentiam in anima. Hec sunt dicta per digressione et in hoc terminatur caplictum de praedicamento quantitatis.