Quaestio 1

⁋ hic diligenter inquiri oportet: cum in trinitate non sit diuersitas vel singulari tas.

⁋ Distinctionis. xxiiii. questio prima MAgister in hac vigesimaquarta distin aactione tractat materiam an in personis diuinis sit nunerus: et an sit in deo quanuatitas.

⁋ Contemplatione cuius quere Q. emus aliqua que conducunt ad intelliger tiam illius quesiti. Postea respondebimus ad quastionem Magistri.

⁋ Petemus autem primo an quanti tas discreta sit aliqua resquantis inherens. Et vni uersalter an fit aliquod indiuisibile in quato.

⁋ Re spondetur vnicam ponendo conclusionem: nullum est indiuisibile in pure continuo continuans vel terminans per tes eius.

⁋ Pro intelligentia istius conclusionis notabis partitam esse positionem imprsentiarum. Quarum vna tenet punctum esse impartibile: lineam profunditatis et latitudinis expertem. hoc sic declara tur. Data a linea pedali in ea sunt duo puncta ter minatiua: quorum vnum terminat in vno extremet reliquum in alio. Et infinita sunt puncta continutiua in hac linea: quia continuum est cuius partes copul tur ad aliquem terminum communem: hoc est ad punctum Et ita dicatur de quaelibet linea recta et finita quod duo puncta terminatiua habet. Cinea gyaratiua habet terim per accidens. Partes dicuntur terminari ad punctum qui duas medietates terminat et continuat. Nulla sunt puncta immediata in hac linea. hoc patet quia tum nullum erit continuum: sed sola puncta essent in hac linea. Sed immediate post primum punctum term natiuum et continuatiuum aliud sequitur punctiQuod patet: quia immediate post b punctum sequitun continuum et quantum et tale non potest habere partes coniun ctas sine punctis: ergo post b punctum immediate sequitur punctum. Ex quo sequuntur corollaris.

⁋ Primum est. Inter quecunqueduo puncta mediant infinita: loquor de punctis continuatiuis. Probatio corollarius inter quaecunque puncta intercipitur linea: modo in qualibet linea sunt infinite partes que non possunt continua ri sine punctis: ergo interquaecumque puncta mediant infini ta.

⁋ Secundo sequitur quod infinita est multitudo categorematice entium non facientium aliquod vnum. Pa tet de punctis datis. Nec hoc inconuenit in continuo quia infinita est multitudo paertium proportionalium in continuo secundum omnem proportionem.

⁋ Tertium corol larium inter b punctum inchoatiuum linee et quodlibet ali ud mediat punctum. Patet ascendendo sub termino distributo.

⁋ Quartum corollarium: nullum punctum in tercipitur inter b punctum et quodlibet aliud Probatur: quia da oppositum: signetur et sit ciam vel c est immediatum b contra paius dicta vel mediatum: et habetur corollarium.

⁋ Quintum corollarium. hec tamen est neganda: inter primum punctum et omnia alia puncta mediat punctum / capiendo omnia collectiue) quia tunc oporteret aliquod punctum precedere omnia puncta sequem tia b. Eodemmodo illa est falsa capiendo distribut ue. habebit enim vnam singularem falsam in qua de mod strantur omnia puncta collectiue. Sicut dictum est de punctis eodem modo dicatur de lineis et superficiebus

⁋ Ex fluxum puncti consurgit line a que nullam latitur dinem neque profunditatem habet. Quod sic dinoscitur: si vnum punctum de flueret ab a puncto ad o punctum secundum longitudinem relinquendo vestigium retro se iam habebitur linea quam duo puncta terminant. Et si hec linea fiuat secundum latum relinquendo vestigium post se nullo pacto relinquens aliquid secum dum profunditatem: erit suparficies: quia longitudo a lati tudo. Si rursus superficies relinquat vestigium retro se siue sursum siue deorsum erit corpus: quia li nea terminatur: et non per diuisibile quia ipsum iterum terminabitur: oportet ergo ponere duo puncta indiui sibilia. Eodemmodo probatur de linea claudente super ficiem: et de superficie corpus terminante.

⁋ Con tra fundamentum huius positionis: et corollaria arguitur sic. Ex hac positione sequitur quod aliquod ac cidens indiuisibile inhereret subiecto diuisibili: patet de b puncto terminante lineam.

⁋ Forte dices quod oc non inconuenit tanquam in subiecto inadequato vel tanquam terminus in suo terminato. Nec sic incon uenit quod idem punctum sit in duobus tanquam terminis: patet de puncto continuante quod etiam terminat.

⁋ Non valet quod alii dicunt: quod puncta continuatiua non sunt nisi in potentia et non sunt actu actualiter enim sunt in rerum natura.

⁋ Propter ea aliter arguitur: pono a lineam terminari cet li punctis: alias non esset finita. Contra: deus potes separare illa puncta de potentia sua absoluta linea manente: quo facto linea erit finita.

⁋ Sed dices quod deus non potest separare puncta terminatiua linee linea conseruata: quia tunc diffinitio negabitur de diffinito supponente. Linea ab euclide primo elementorum sic diffinitur. Linea est longitu do sine latitudine et profunditate cuius extremitates sunt: duo puncta.

⁋ Vel melius sic (vel saltem minus male admittendo casum qui non clau dit contradictionem dicitur: quod linea non erit fini ta positiue: sed priuatiue. vel licet non habeat ter minum intrinsecum habet extrinsecum.

⁋ Sed contra ipsa terminatur: nec erit longior solito. Et argumentum aduersarii ibi soluetur qua solutione data: sufficit proposito. Dicere quod non potest cor rumpere illa duo puncta terminatiua quin produ cat duo de nouo: est vnum dictum voluntarium.

⁋ Se cundo arguitur sic. corrumpat deus omnia illa puncta in linea / linea conseruata: iam habebitur linea sine pum ctis. Quod hoc potest patet. potest enism corrumpere puncta terminatiua a linee: et eadem est ratio de aliis punctis continuatiuis que etiam terminant

⁋ Sed dices (et fuga nulla est alia) quod non est ide: de punctis continuatiuis et aliis: quia tunc manebunt partes linee: et continuum in omnem suam partem diuidi est impossibile: ergo cum partes sut ne cesse est eas continuari: et continuatio non potes fieri sine punctis. igitur.

⁋ Contra hoc arguitur sic. quandocunque sunt due creature realiter distin cte quarum neutra est pars alterius: deus potest quam cumque illarum creaturarum destruere alia corrupta: sic autem est de punctis et lineis continuatiuis.

⁋ Refu gium haberet hec positio negando illam Maximam quando est dependentia vnius creature ab alia

⁋ Tertio arguitur sic. ex hac positione sequitur quo due medietates continui non sint immediate: cum inter eas aliquid mediet: puta punctum continuati uum.

⁋ Secundo ex hac positione sequitur quod dabitur circulus indiuisibilis: consequens implicat: ergo et antecedens. probo tamen consequentiam: qui capio centrum mo le fabri quod per hanc viam est accidens indiuisibile Tunc illud mouetur ad motum rote octauo physicorum: motis nobis mouentur ea que nobis sunt Et tunc sic: non mouetur motu recto nec mixto: mouebitur ergo motu circulari. Ergo ex eius motu causabitur circulus vt patet de tropico cancri et capricorni. Et tunc sic. vel ille circulus descriptus ab illo puncto est indiuisibilis: et sic habetur inten tum: vel diuisibilis: et tunc sequitur quod punctum medium non erat centrum: quia quocunque circulo dato qui describitur ab aliquo puncto illius rote dabilis est circulus minor. ergo circulo descripto ab il lo punto dabilis est minor: ergo ille non erat centrum.

⁋ Ad primum istorum nego consequentiam: qui mediatio puncti continuantis illas medietates non arguit eas non esse immediatas.

⁋ Ad secundum nego sequelam: centrum enim rote circulariter mote non mouetur. illud autem Motis nobis mouentur ea qua in nobis sunt. intelligitur de partibus nostris: non autem oportet sic esse de accidentibus. vel sic et de his et de illis hoc verum habet nisi fuerit accidens centrale. Et istud etiam intelligitur quando totum ra tione totius de per se mouetur. Si maior pars cere rarefiat tota augmentatur: et rarefit: et per consequens mo uetur: sed non oportet ita esse de qualibet parte.

⁋ Sed diceres: stella que est polus arcticus inter dum percipitur moueri: et est polus octaui celi: ergo polus corporis circulariter moti mouetur. Antecedens expertum est ab experimentatoribus.

⁋ Respondetur quod tunc illa stella non est polus arcticus: sed punctum satis prope illam stellam quod nullate nus mouetur. Et si dicas secundum illud Alani. Ethereus motus mouet omnia sidera preter Unum: sed semper permanet illud idem. hoc est non notabili ter percipitur a nautis mutare suum locum.

⁋ Quarto arguitur probando puncta esse immediata: et hoc sic. diuisio linee cadit super punctum: volo quod diuidatur a linea pedalis in duas medietates: iam vtra quam medietas terminatur puncto post separationem: et ista puncta non producuntur de nouo: ergo ante erant immediata in ista linea.

⁋ Ulterius capiantur due semipedalitates cooperientes linema pedalem: puncta terminatiua sunt immediata: tunc respon debunt eis duo puncta diuersa in linea pedali inferiori: et sic habentur duo puncta immediata.

⁋ Respondetur quod diuisio cadit super punctum et illud manet in vna medietate et eam terminat et non in alia medietate.

⁋ Sed contra: sequereturquod accidens migraret de subiecto in subiectum: illud enim punctum ambabus medietatibus paius inherebat tam quam terminus in terminato: nunc autem inheret solum alteri.

⁋ Iterum: non est maior ratio quod inhereat vni medietati quam alteri.

⁋ Propterea minus inapparenter dicitur quod punctum corrumpitur a diuisore: diuisio enim cadit supra punctum hoc est ipsum continuans corrumpitur et producuntur duo de no uo a diuidente. Et si plures diuidant duo producums tur ab ambobus nisi deus impediat miraculose pro ductionem istorum punctorum.

⁋ Sed dices si ex duabus lineis terminatis fiat aliqua vna: iam erunt duo puncta proxima in eadem linea.

⁋ Responde¬ tur quod alterum istorum dicere oportebit esse corru ptum. Et cum equa sit ratio de vtroque: dicitur quod vtrum que corrumpitur: et producitur vnum de nouo. Si enim duo faciant illam continuationem vnus applicat semipedalitatem et alter aliam iam illa duo simul producunt vnum punctum: quod non citius produ- citur ab illis duobus copulatim quam ab vno illorum.

⁋ Ad secundum dicitur quod non inconuenit duo pucta variarum linearum esse immediata immo sunt in eodem loco: et eis respondet idem punctum nume ro in linea inferiori. Et sic non habes eiusdem linee puncta immediata.

⁋ Sed contra istud argui tur sic. ponantur due linee pedales a b super se inuicem sic scilicet: quod a superiori corrumpat deus totam quam titatem continuam: puta omnes partes linee ipsi us a ipsis punctis remanentibus in eisdem sitibus in quibus erant: tunc sic: erunt duo puncta imme diata post separationem partium linee: et non ma gis appopinquant quam antea. ergo prius erant im mediata. Casus non videtur negandus a potentia dei: licet enim linea dependeat a punctis non tamen econtrario. vt crebro in vsu est. Creatura enim non potest esse sine deo: bene autem econuerso. Similiter totum non potest esse sine sua materia bene tamen contra: immo videtur vlterius in isto casu: quod quelibet pars blinee inferioris erit cooperta ab ali quo puncto quod erat linee superioris: ergo nihil erat in a linea demptis punctis.

⁋ Respondetur admisso ca su: negatur quod duo puncta erunt immediata: quia inter quacumqueduo puncta mediant infinita. nec sequitur. multi tudo omnium istorum punctorum demonstratis omnibus punctis aliis a puncto inchoatiuo) est immediata pum cto inchoatiuo: ergo aliquod punctum est immediatum illi: sicut digito tangens continuum in vno extre no quod versus erant partes proportionabiles minores: digitus est immediatus toti multitudini illarsi partium proportionabilium a nulli parti proportionali ille digitus est immediatus. vel ponatur super quamlibum partem proportionabilem vnus angelus digito remo mente in eodem situm: tunc digitus est immediatus toti muititudini istorum angelorum: et nulli angelo est inmediatus: immo quocunque angelo in illa multitudine dato inter ipsum et digitum mediant infiniti an geli. sic inter quecumque duo puncta mediant infinita. Sed non est omnino simile quo ad analogiam: quia dabiles sunt multi angeli immediati: vtputa angelus super primam partem prportionalem et secundam super posito quod repleant illas partes. Sic de quibuscunque an gelis in partibus proximis.

⁋ Ad aliud docitr: quod prio non est cooptura a linee a punctis: sed si intelligas quod quelibet pars linee inferioris habet punctum supra se: et hoc vocas respondere: vel esse coopertum respon detur per propositiones.

⁋ Prima est: quodlibet punctu linee inferioris erit coopertum ab aliquo pum ctolinee superioris.

⁋ Secunda propositio. quodlibet punctum linee inferioris habet vnum punctum ei re spondens in linea supriori: duo puncta tria puncta et sic sine statu.

⁋ Analogiam deprehendere potes inferius in materia de infinito: vbi dabuntur infiniti aurei in vna multitudine: et infiniti homines in alia iam cuilibet homini respondent tres aurei quatuor: et sic sine statu. Et cuilibet aureo duo vel tres homines.

⁋ Tertia propositio. ex duabus praemissis non sequitur quod nihil erat in linea demptis punctis. Probatur hec propositio: quia dato opposito ex duobus veris et concessis ab opinione ipsa corrueret. Opi nantes non dicerent pro hoc argumento: colorem tamen habet.

⁋ Sed contra dices: supponatur quod angelus potest esse in loco punctali vel si lucteris in terminis quod nullus sit locus punctalis: ponatur quod potest coexistere puncto: vel ducatur argumeutum de corpe spherico moto superlineam corpis plani: quod secundum opinantes tangit planum in puncto. Tunc sic iste angelus pertransiuit hanc lineam pedalem: et semper erit in loco punctali: non lucteris ad nomen ergo nihil ibi reperit nisi puncta.

⁋ Respondetur: quod con sequentia non valet: vt dictum est in casu praecedenti Sed vterque habet colorem contra opinionem.

⁋ Quinto ex isto sequitur: quod circulus erit indiuisibilis secundum latitudinem et profunditatem: et sic duo puncta possunt esse in eodem loco in variis corpo ribus. Sic etiam due superficies erunt in eodem loce scilicet suparficies conuexa ignis et concaua lune. Sed hoc est falsum: quia tunc non est maior ratio quod sphera lune contineat spheram ignis quam contra.

⁋ Sed di ces: est ratio quia superficies concaua sphere lune in heret corpi circundanti: non autem econtrario.

⁋ Con tra: ponat permutatio illarum superficierum. Tunc sequitur quod suparficies ignis: vel qui fuit ignis esset continens respectu ignis. Sed ibi concedes illatum. Non enim inconuenit duas suparficies diuersorum cor porum esse in eodem loco pius quam duo puncta vario rum corporum.

⁋ Quo fit quod eadem est diametrunumero corpis locatiet locantis. Et si dicas: tertuelementorum propositione sexta dicit Euclides: cit culorum sese contingentium non idem centrum esse necesse est. hoc non mouet: quia loquitur de circulis ec centricis et non de concentricis: aliter enim non se con tingunt. Oportet idem dicere secundum modum oppo situm ducendo diametrum corpis locati ad superf ciem conuexam eius: que diametrus est immediata superficie concaue corporis locantis. Alioquin dabitur vacuum inter corpus locans et copus locatum: vel quod non sit proprius locus eius cuius oppositum supponimus. Sed ista diametrus non erit corpis am¬ bientis corpus locans.

⁋ Possunt esse argumenta similia de diuisione linearum et suparficierum: sicut de segregatione punctorum. si enim deus separet primam partem proportionalem a secunda: secundam a tertia: et ita de qualibet alia: partibus remanentibus in eodem situ petis in qua parte erit vltima suparficies que corpus terminat.

⁋ Respondetur: quod in nulla parte proportionali: vt patet per assensum: set terminat totam multitudinem partiu. Et propositiones logicales tangi possunt: vtputa si sortes incipiat diuidere vnam superficiem per hoc instans quod est vltimum instans non esse diuisionis iam incipit per remotionem de presenti vna linea diuidi quae nec desinit nec desinet diuidi: et immediate post hoc diuidetur linea (immo linea immediate post hoc diuidetur. patet de linea terminante superficiem immediate: post hoc diuidetur superficies. Sed illa logicalis sunt: vide in incipit et desinit: de quibus supersedeo.

⁋ Istud ( quia non est petenda pluralitas sine necessitate: et alique solu tiones forte non sufficiunt) videtur ad minus probabile. Sed quia ad multorum intelligentiam conducit: et apud mathematicos et plerosque philosophos in honore: non est penitus reiicienda.

⁋ Ista positio inferius ostendetur esse contra mentem beati Augutini. Et vlterius adducam dictum viri non multum capientis in philosophia. Sed quia iustam causam ha bere videtur recitabo. Laurentius valla decimosex to capite sue nuncupate logice dicit. Aristoteles negat in loco esse puncta: sed tinee terminos pucta existimat. Et sequitur protinus. Et ego id ausim iu rare: eum non intelligere quod dicit.

⁋ Alia est po- sintio rationi conformior: quod nulla sunt puncta indiui sibilia in linea: nec est longitudo distincta a latitudine: immo implicat dare longitudinem sine latitudine.

⁋ Modus huius positionis est talis: data li nea siue sit quantitas accidens secundum vnam viam vel quantitas substantia secundum aliam: ita habet terminos intrinsecos: dato quod ponatur in vacuo vel extra vniuersum quolibet puncto sde quo locuti sumus) secluso: vna pua pars que est linea: puta vna vigesima vel vna trigesima vel alia quantalibet pare que est terminus est punctum. Et sic puncti est puctum: vt patet de parte illius. Si non capias partem nulla pars. linee est vltra partem datam illius Et partes linee copulatiue ad terminum communem. id est con tinuantur simul: et faciunt aliquod vnum: impossibi le est enim dare longitudinem sine latitudine et pro funditate. Quod patet: signatocorpe cubo. ibi non est ratio accipiende longitudinis penes vnam dimensionem potius quam penes aliam nisi ab libitum: ergo nulla est distinctio latitudinis a longitudi ne. Et adhuc si dimensiones fuerint equales vbi longitudo attenditur penes diametrum longissimam: latitudo penes secundam dimensionem: et profunditas secundum minimam. Ut patet de ar cha Noe: que fuit trecentorum cubitorum longitudinis: latitudinis triginta: profunditatis trigita. Senesis sex. Et in homine longitudo est a pedibus ad caput: latitudo a dextra ad sinistram: profunditas a tergo ad pectus. Sed cum totum sit suc partes: longitudo realiter est latitudo: et pars inferior et superior pars sinistra et pars dextra copu latim.

⁋ Di dicas primo elementorum Euclidec diffinit punctum sic. Punctum est cuius pars non est. Et linea est longitudo sine latitudine et profundita te cuius extrema sunt duo puncta. Et idem vult Aristoteles quinto Metaphysice dicens. omne in diuisibile secundum quantitatem habens positionem dicitur punctum. Sic megarensis suo modo suparficiemet corpus diffinit.

⁋ Ad hoc respondetur: quod ista sunt dicta mathe maticorum. Ista indiuisibilia abstrahentium que relin quunt metaphysice ad determinandum de entitate talium. Aristoteles exemplariter eis vtitur. Quia erat opinio famosa in diebus eius quod erant puncta indi uisibilia in continuo: quorum aliqui asseruerunt cont nuum componi ex praenctis: vt domins Democritus et eius collega leucippus. Alii ponebant puncta acci dentia. Aristoteles vsus est modo loquendi commun primo enim Posteriorum inquit: puncta in linea non sunt immediata: sed substantia linee ex his est. Quo aliqua geometricalia rectificare necesse sit per Me taphysicam. patet. est tertia positio Euclidis primi elementorum. omnes angulos rectos sibiinuicem esse equales: et tamen cum angulus rectus nihil aliud si quam spatium inclusum inter duas lineas: quarum vna cadit perpendiculariter supra aliam. In istis diffini tionibus non est curandum de vacuo inter lineas: quia naturaliter loquimur: etiam tunc non erit angulus: palam est vnum angulum rectum alium includere. et hoc modo loquendi non mathematici vtuntur. dimensio maxima vocatur longitudo sine latitudine et profum ditate. hoc est non habendo respectum de latitudine et de profunditate. Ad vlnam enim non respicimus ad grossitiem et latitudinem dummodo longitudinem debi tam habeat. Sic de suparficie et copore dici potest suo more: non loquimur de corpore infinite longo dif formiter lato a profundo quod nullius determinate latitudinis et profunditatis est. Quod patet de reductione ad vniformitatem: hoc est sophisma in proposito. Qundam quelibet pedalitas eius est lata et profunda. Etiam ex illo concluditur quod est aliqua substantia longa lata et non profunda contra opinionem oppositam. pertitio enim linee cadit super punctum: non autem oportet aliquid corrumpi ad diuisionem linee. patet de diuisione pe dalis in duas medietates.

⁋ Secundo principaliter arguitur sic. ex isto sequitur quod diameter circuli non esset longissima linea in circulo. consequens est contra QEuclidem tertio elementorum poositione octaua d centem. Si extra circulum puncto signato ab eo ad circumferentiam linee plurime ducantur circulum secem do / que supra centrum transierit omnium erit longiss ma. Et propositione decimaquarta eiusdem: si intra circulum plurime recte linee ceciderint diametrum eius omnium longissimam eique proinquiores remotioribus longiores esse necesse est. Eodem modo non dabitur centrum in circulo a quo omnes linee recto ad circumferentiam exeuntes sibiinuicem sunt equa les: contra diffinitionem circuli primo elementorum. Qniam quia per te centrum est diuisibile vna linea potest duci ab extremo illius alia a medio: et sic ille line non erunt equales. Sequela principalis argumen ti probatur: quia diameter circuli per positionem est diui sibilis et lata. Separo ad intellectum tres partes diametri a et cextremas b mediam. Tunc sic. a et c sunt breuiores b: quia magis recedunt a centro secundu Euclidem. et patet ad sensum. Et tunc sic. hec dlines componitur ex abepartibus: quarum b est longior a et longior c. ergo dlinea non est ita longa sicut bi et d est diameter circuli data: ergo propositum.

⁋ Sed forte dices: b erit diameter et longissima li nea in hoc circulo.

⁋ Contra hoc argumentor sic. vel b est diuisibilis quo ad latitudinem vel indiuisibilis. Si secundum: propositum habeo. Si primum. eodem modo partiar b in tres partes secundum longitudinem.

⁋ Forte dices: d linea est ita longa sicut c.

⁋ Contra: omnis linea habens partes difformis lon gitudinis non est ita longa sicut paro eius longior Signo vnum asserem cuius vna medietas est octo pedalis et alia decupedalis. Totus ille asser non est ita longus sicut medietas decupedalis. patet: quia eadem ratione erit ita breuis sicut latus breuius. Et sic esset octupedalis: ergo oportet dicere quod totus ille asser est longus nouem pedibus. hoc patet separando ad intellectum vnam pedalitatem a latere longiori et addendo coste: iam totus asser est longus nouem pedibus. Et non est longior vel breuior qua prius fuit. Quia sicut latus longius decreuit: ita i eadem prportione latus breuius creuit: sed nunc est asser longus nouem pedibus: ergo prius erat longus nouem pedibus.

⁋ Sed forte dices. sicut punctum velocissime motum metitur motum corpis difformiter moti quo ad partes: sic totus asser denominabitur ab vna parte longiori. Et coloratur ex communi modo loquendi: dicimus enim hominem esse ita longum sicut est linea ducibilis a planta pedis ad verticem capitis. Et si illa linea fuerit longa septen pedibus: homo dicitur tante longitudinis. Tamen ille idem habet duas partes difformes. Patet ducendo tres lineas a parte exteriori pedis sinistri per armum sinistrum c: a pede dextro ad humerum dextrum b de tamn ta profunditate ad verticem capitis vsque a. Et sic tinea infinite longa difformiter lata erit tante latitudinis sicut latissima paro eius: et eodem modo de profunditate dicatur. Sic in proposito dicitur quod dli nea est longior a et longior c propter bpartem longio rem.

⁋ Sed contra hoc arguitur. licet sic dicere potes in linea difformi: cuius due partes erunt equa liter breues: et tertia equaliter terminetur secundum longitudinem: vt in homine vel in assere latitudinis tripedalis: cuius due tertie extreme sunt octo pedum ae media decem pedum: tamen hoc non potes di cere de diametro data: cum non detur longissima pars eius.

⁋ Respondetur. negando quod non detur longissima pars illius diametri: quia b media quae est longissima: est ita longa sicut aliqua paro eius. Et concedo quod medietas b est longior duabus extremis. Sed non sequitur quod illa medietas sit longior b cum b includat illam. imaginemur enim in medio illius linee lineam mathematicam: volo dicere quod b et d copulatiue est ita longa: sicut illa linea mathematica Sicut dicunt quod rota figuli mouetur ita velociter si cut punctum velocissime motum in ea. Et si nullum fuerit punctum in ea mouetur indiuisibiliter vele cius quam aliquod punctum eius. Et si diameter mundi est longissima linea possibilis naturaliter: erit ita longa sicut aliqua paro eius. et quelibet paro eius media est longissima linea: et equaliter longa cum diametro totali.

⁋ Sed dices: d diametri bpars est longior a et cpartibus copulatiue: ergo nonem pos sibile dare asserem difformis longitudinis: sic scilicet quod a erit octo pedum et cocto pedum et b medium decem pedum: sic scilicet quod partes a sint vniformis ongitudinis: partes inquam non se includentes er tense per longitudinem cum a potest esse diameter ha bebit partes difformes.

⁋ Respondetur: negando quod partes a non sint equalis longitudinis si capiatur prima pars proportionalis a partis proxima b partimedie: et sic diuidendo a per partes proportionales minoribus partibus proportionalibus remotioribus et b: quelibet enim illarum partium proortionabilium erit equaliter longa cum alia: et erit octo pedum. et nego quod a potest esse adequata diameter circuli naturalitur. hoc dico vt amoueam muscas semimortuas: vbi poneres a in pluribus locis. Imaginare quod a ponat supracentrum circuli expansa ad partes oppositas minor est distantia circuli respondens medietati quam partibus extremalibus proter suam incuruationem Et secundum QEuclidem tertio elementorum proositio ne septima. Quanto vero a centro remotiores tanto breuiores esse conuenit. Due quoque distantes linee breuissime collaterales equales esse necesse est. ergo cum b peripheriam contingunt a et cportransibunt circunferentiam etiam partes extremales bi tandem peripheriam pertransibunit vel supeream incuruabuntur. Si debet esse diameter cuius partes extremales non supergrediuntur peripheriam. esse enim necesse est diametrum infinite acutam quod semper tendit ad acutiem medium versus: et erit non gradus latitudinis in extremo. Ista (vt puto) sunt satis probabilia.

⁋ Secundo dici potest: concedendo quod longitudo linee finite difformiter late vel profunde est mensu randa penes reductionem ad vniformitatem. Et ex consequente conceditur quod diameter circuli non est longissima linea in circulo neque negatiue neque affirmatiue. Sufficit autem megarensi linea imaginaria longissima.

⁋ De centro circuli sufficit punctum imaginarium impartibile. Et est eadem senten tia. Quod sic declaratur: sit circulus descriptus ab immani circino pedum multum distantium: sit centrum illius circuli pedale secundum omnem dimensionem potes ducere lineas taliter ab eodem pedali ad circumferentiam quod erunt inequales: ducendo a lineam ab extremo centri illius et b vltra extremum per vnum digitum. Sed si ducas duas lineas rectas equaliter a centro siue a partibus superficialibus siue interioribus siue prope punctum imaginarium in medio: ille erunt equales. ergo non impedit propo situm QEuclidis siue ponatur punctum partibile siue impertibile. Sed satius est pro lucidiori intelligentia ipsum reputare indiuisibile. Sicut expresse beatus Augustinus nullas ponit lineas in continuo indiuisibilis latitudinis et profunditatis: sed dicit discipulo conducit eas more mathematico imagi nari. vt patet in libro de quantitate anime quasi per totum. et capitulo decimo illius libri sic ait. Enita re cogitare longitudinem quae adhuc nullam latitudinam assumpserit.

⁋ Discipulus. nihil tale possum cum fi lum aranee in animo constituero quo nihil exilius solemus videre. Dccurrit mihi etiam inesse tamen et longitudo per se a latitudo a altitudo quae qualescumque sinesse tamen negare non possum. Augusti. non vsquequa que absurda est responsio tua. Sed certe cum ista tria esse in aranee filo intelligis: discernis hoc e quid inter se differant nosti. Discipulus haud aliter potui videre: nihil horum deesse huic filo. Et tunc concludit Augustinus. igitur intellectu hoc discreuisti hoc. potes etiam seiunctis illis solam longitudinem cogitare ne aliquod corpus voluas animo. Nam quodcunque fuerit his omnibus non carebit. Incorpor eum est enim quod te intelligere cupio: nam sola longitu do non nisi animo intellsgi potest: corpe inueniri non potest. Et subdit. hanc igitur longitudinem meram simplicem ( si etiam placet) lineam vocemus. hoc enim nomine a multis doctis appellari solet. Ex his dabemus duo ad propositum nostrum: vnum est quod in ipso corpore non est aliqua res quae sit longitudo tantum. Sed mera longitudo est incorporea. et in animo solum. Aliud est: quod ista longitudo incorporea existens alio nomine a doctis consueuit vocari linea: et ita vulta se vocari. Et sicut de longitudine dicit ita in sequentibus de latitudine et puncto disserit. nde a multis quo ad hanc materiam pertractato concludendo principale propositum dicit. Dic queso tesait) nunquid nunquam vera linea est que per longum secari potest: aut verum signum (id est punctum) quod nullo modo secari potest. hec vera latitudo que cum erecta est vt dicimus sectionem per longum deorsum versus adinittat. Discipulus: nihil minus: supple verum est quodlibet istorum. Augustinus. vnquam ne igitur oculis istis corporeis vel tale punctum vel ta lem lneam vel latitudinem vidisti.

⁋ Discipulus omnino nunquam: non sunt enim ista corpea. Et mox ex istis concludit Augustinus at qui si corpea cor poreis oculis mira quadam rerum cognatione cernuntur. oportet animum quo videmus illa incorporalia corporeum ve corpus non esse.

⁋ Insuper septimo super Genesim adliteram. xvii. capitulo de paruis dicit. quod si anima esset corporea nullo modo nosse posset tales lineas que per longum secari neaqueunt: quales in corpore non posse inueniri nihiominus nouit. Ex his patet quod secundum Augusti. num nulla est incorporea longitudo aut suparficies nec aliqua huiusmodi videri potest oculo corpali: sedmente: curus oppositum aduersarii dicunt de superficie.

⁋ Tertio arguitur: corpus perfecte sphericum tangit perfecte planum in puncto indiuisibile. ergo ponenda sunt puncta. Non valet negare sphericitatem corporis: quia deus potest tale creare: et Aristoteles ex intentione secundo celi probat celum sphericum. Quia sphericum tangat planum in puncto: probatur. ponatur corpus sphericum graue cadens super corpus planum iam sphericum tangit planum a non in linea. Et per consequens nec in superficie nec in corpore: ergo tangit ipsum in pium cto. Sufficit pobare quod sphericum non tangat planum in linea. et hoc patet. quia da oppositum sphe ricum ( vel circulus perinde est) tangit planum in li nea: ducam ad terminos linee a c quam contingit a dcentro circuli. Tunc habebimus lineas ac et a d: et ducam b d in medium. Et erunt duo triangu li a db et db c Tunc arguitur sic. aut linea b de ici dit super a clinea orthogonaliter ut non. Si sic: ergo invtroquetriangum lo apud ber erit angulus rectus. Et er consequens in illis triam gulis latera a det scon sunt matora b d: quia maiori angulo opponuntur. Si non incidatorthogonaliter vnus angulus quem facit b dest obtusus: et ei obtuso in suo triangulo maius latus opponitur: vt claret apud QEuclidem et intelligentes. Ex quo sequitur quod tres linee venien tes a centro d vsque ad punctabc a non sunt equales. Sed tamen illa puncta sunt puncta circumferentie. igitur linee venientes a centro ad circumferentiam non sunt equales. quod est inconueniens: et contra diffinitionem circuli. ergo concluditur quod contingit in puncto a non in linea.

⁋ Item probatur alia via quod impossibile est circulum tangere lineam per longitudinem. Et hoc sic. da quod circulus tangat lineam rectam circuli per aliquam longitudinem quantumcumque parua sit illa: sit digitalis pars illius gratia exem pli que tangit totam illam lineam secundum longitudinem: cuius extremitates erunt a et b cum medium non exit ab extremis. Et a puncto a ad punctum b duca tur linea breuissima. linea b est breuissima ducibilis inter illa duo puncta: ergo est recta. ergo circulus componitur ex lineis rectis quod est impossibile. Semper abigo semimortuas muscas: ne ponas circulum in duobus locis et quod in vno loco rectificetur.

⁋ Pretere a: videmus ad sensum si esset corpus molle tangens tabulam planam secundum aliquam longitudinem: si corpus molle crescat ad curuitatem eleuatur a tabula: et non tangit per tantam latitu dinem. quanto enim magis eleuatur: tanto per minorem longitudinem. tangit ergo quando primo efficitur circulus non tangit per lineam. hoc ostenso quod impossibile est circulum vel corpus perfecte sphericum tangere perfecte planum per lineam. Et cum tangat: reliquum est quod tangat per punctum.

⁋ Respondetur dupliciter. Tum primo: concedendo quod corpus sphericum tangit perfecte planum. Sed nego quod tangat in puncto. id est in aliqua entitate quod tum vocas punctum. tangit enim punctualiter: hoc est non tangit rectam lineam: secundum enim nullam longi tudinem tangit: secus est quando duo corpora plana se tangunt: quia ibi datur determinata pars contactus: hic nulla pars determinata tangit secundum se et quodlibet sui. sed nego quod aliqua pars indiuisibilis illius corporis tangat illud corpus planum quelibet enim pars tangens corpus planum est diuisi bilis: medietas autem inferior corporis spherici tan git corpus planum: et medietas illius medietatis planum versus tangit corpus planum: et sic sine statu¬

⁋ Ex his habetur quod linea corporis spherici tangit corpus planum: sed non tangit linealiter: hoc est non tangit per longitudinem.

⁋ Sed contra hoc argui tur sic. illa se tangunt quorum vltima sunt simul. sexto Physicorum. sed inter corpus sphericum et corpus planum vndique aer mediat. ergo solum consequentur se habent. e quoquouersum aer intercipiu sic deprehenditur quod deus remoueat corpus sphericum a corpore plano: et quod deus ibi conseruet vacuum Tunc sic. in illo vacuo non est aer: sed locus imagi narius diuisibilis. Et corpus sphericum tetigit corpus planum per totum illud spatium imagina rium. ergo tetigit per longitudinem et linealiter.

⁋ Respondetur: concedendo quod vndique mediabat aer inter corpus sphericum et planum: sed quia decrescit ille aer ad non profundum hinc inde ex barte contactus non dabitur pars diuisibilis post separationem corporis plani vacua: sed totum corpus planum cooperietur ab aere qui ex duabus parti bus oppositis terminatur in non profundum: et illic corpus sphericum attingebat corpus planum.

⁋ Sed contra hoc arguitur sic. vel aliquid mediat inter illas duas partes aeris quas dicis terminari ad non rofundum: vel nihil. Si secundum: semper colligitur quod illa duo corpora non erunt contigua. Si aliquid mediat et non diuisibile per solutionem datam: ergo indiuisibile quod venamur.

⁋ Propter hoc datur secunda solutio in qua intellectus magis quiescit negando quod illa corpesa se tangant: quia vndique aer ntercipitur inter illa duo corpora: nec est possibile quod corpus perfecte sphericum tangat perfecte planum vt argumentum deducit.

⁋ Sed dices: aer non potest superferre corpus graue sphericum: ergo non impedit ipsum descendere. Corpus sphericum descendens super corpus planum vitreu ipsum frangit. ergo ipsum attingit.

⁋ Respondetur negando presuppositum: quia non est aer qui corpori graui resistere quit: sed ex natura corporis spheri ci non potentis corpus planum tangere id prouenit.

⁋ Ad secundum respondetur: quod consequentia est nulla: stat enim quod quis frangat duram matrem et piammatrem per aliuod lesiuum extraneum non contingens alterutram matrum.

⁋ Vel sic. duobus modis aliqua se tangunt. vno modo quando non possunt esse proinqora saluis eorum riguris: et hoc modo corpus spheicum tangit corpus planum. Dixi saluis figuris: quia inter corpus sphericum et lineam rectam incuruatam potest esse contactus. Et sic de virtute sermonis conceditur quod corpus sphericum manens spheri cum potest tangere planum.

⁋ Alio modo aliqua qua se tangunt sic se habent: quod determinata pars vnius tangit determinatam partem alterius secundum se et quodlibet sui superficiale: et ita est de corpibus quibus communiter vtimur.

⁋ Ultimo arguitur sic. illa se tam gunt quorum vltima sunt simul: et non est penetra tio corporum naturaliter. ergo oportet ponere su perficies corporum in eodem loco.

⁋ Ulterius ponatur corpus densum et opacum bene coloratum in parte exteriori iam video illud corpus secundum superficiem: quia non video per protunditatem: quaniam partes interiores illius corporis non intueor datur lumen reflexum ab vno corpore non transparente suparficiale in illo.

⁋ Respondetur: quod in tactu corporum non oportet duas vltimas partes nec eorum terminos esse in eodem loco adequato. Ad tactum enim corporum sufficit quod determiata extrema sic int apposita quod nihil potest inter illa mediare.

⁋ Ad secundum dicitur: quod profunditatem video ed non video secundum profunditatem. video enim su perficiem et superficialiter video. Non capio superficialiter sicut capitur apud loquentes cum dicut pominem in cortice a non in nucleo rem ipsam contemplari. De lumine dico quod quod cumque signetur subiectum eius est corpus et aliquam profunditatem ( licet nonnun quam tenuem) habens.

⁋ Similiter cum dicitur: est erater vel vnus est filius at huiusmodi: rario dicti hec est.