Caput 12

Qua ratione inueniri possint proportiones, quae requiruntur ad determinandam inclinationem magneticorum supra magnetem, & ad causam explicandam. Cap. XII.

Ouod si illa tria sive quatuor superius posita ita cognoscere optet quis, ut possit illos proportionis terminos ex illis simul compositis sibi constituere, in eius gratiam addam hìc, qua ratione illa possint in numeris innotescere. Dato igitur quolibet puncto nominato in quadrante A. E. C. sic cognosci poterunt quaesita, & illorum quantitas numeris exprimi. Et primo de angulo.

Sit datum punctum E. quod distet à puncto C. per 40. gradus. notus ergo erit arcus E. A. quinquaginta graduum. ducatur ergo E. T. ad centrum, sicut ducti sunt M E. B. O. E. A. A. B. erit angulus E. T. A. ad centrum duplus angulo E. B. A. ad circumferentiam: Cum igitur angulus E. T. A. sit grad. 50. E. B. A. erit grad. 25. & quia angulus A. E. B. in semicirculo est rectus; in triangulo A. E. B. erunt noti duo anguli A. E. B. qui est rectus E. B A. grad. 25. ergo erit & notus angulus E. A. B. grad. 65. cognita est ergo proportio in numeris anguli E. A. B. & E. B. A. 25. ad 65. quod erat faciendum.

Linea A. R. & R. B. facilè cognoscetur in numeris ex tabulis sinuum: si enim habeatur sinus totus T. B. seù T. A. habebitur in ijsdem partibus quantitas lineae A. R. quae est sinus versus arcus A. E. 50. grad. & habebitur pariter R. T. quae est complementum sinus totius. si ergo hoc complementum R. T. addatur ad sinum totum T. B. habebitur tota linea R. B. habebitur igitur in numeris, & similibus partibus longitudo axium A. R. & R. B. quod, &c Portio lineae A. E. & E. B. in numeris ijsdem cognoscetur: cum enim cognoscatur arcus A. I E. 60. grad. dividatur bifariam 30. & quaeratur sinus rectus 30. grad. in partibus duplicati sinus totius 200000. & habebitur tota chorda A. E. grad. 60. quae est duplex sinus rectus 30. similiter cognoscitur arcus E. C. B. grad. 130. dividatur bifariam 65. cuius quaeratur sinus tectus in ijsdem partibus qui duplicatus dabit chordam E. B. & ita in ijsdem partibus & numeris habebitur proportio lineae A. E. & E. B.

Proportio portionum sphaerae E. A. H. & E. B. H. pariter in numeris sic Lib. II. Cap. XII. 153 indagabitur. sit circulus maximus sphaerae A. E. B. H. sitque E. H. sectio supraposita, inveniendaque sit proportio partis sphaerae E. A. H. ad partem B. E. H. in ijsdem numeris: ducatur per centrum T. linea B. T. A. utrinque infinita, quę cadat perpendiculariter ad planum E. H. & consequenter lineam, lineam biffariam secabit in R. similiter biffariam dividet arcus E. A. H. & E. B. H. in A. & B. quae puncta erunt vertices portionum sphaerae, quas inquirimus. & quoniam notus est arcus E. A. grad. 50. & nota est linea R. T. 64279 complementum sinus versi R. A. 35721. arcus E. A. & nota est linea T. 100000. sinus totus, fiat ut tota R. B. ad lineam compositam ex B. T. & B. R. ita R. A. sinus versus ad aliam quartam proportinalem, quae inveniatur & sit C. R. quae sumatur in B. C. ex puncto R. Iam igitur nota erit haec linea C. R. in partibus sinuum, similiter fiat, ut A. R. sinus versus ad lineam conflatam ex sinu toto A. T. & sinu verso A. R. quae lineae omnes notae sunt in partibus sinuum. ita linea R. B. quae constat ex sinu toto, & complemento ad aliam quartam lineam, quae pariter inveniatur, & sit R. D. sumaturque pariter in linea C. D. ex puncto R. Iam si intelligantur duo coni descripti supra eundem circulum sectionis sphaerae, cuius circuli diameter est E. H. quorum unus verticem habeat in D. alter in C. per secundam, secundi Archimedis de sphaera, & cylindro, conus E. D. H aequalis est partioni maiori E. B. H. sectae sphaerae, & conus E. C. H aequalis erit minori portioni E. A. H. eiusdem sphaerae; cum fiant super illum sectionis circulum in tali proportionata altitudine, ut dictum est.

C A E R H T B D woodcut text letters abstract elements geometrical forms integrated in the layout 900522-34375588-r6 Hoc iam habito ad cognoscendam in numeris magnitudinem harum portionum sphaerae, investigetur proportio horum conorum; & quoniam nota est tota linea R. D. & similiter cognoscitur linea E. H. 35208. in partibus sinuum; quia E. R. 76604. dimidia ipsius E. A. est sinus arcus E. A. grad. 50. nota erit diameter basis horum conorum; nota etiam erit in numeris tota basis cognita diametro ex Archimede, de dimensionibus circuli. ha¬ bet enim circulus ille ad quadratum diametri. E. H. notę magnitudinis proportionem, quam habet 11. ad 14. proximè sumatur igitur ista basis seù quantitas huius circuli in numeris, & ducatur in tertiam partem altitudinis R. D; quae altitudo est iam nota in ijsdem numeris, & prodibit praecisa magnitudo coni pariter in numeris. similiter eadem basis circuli E. H. multiplicetur cum tertia parte altitudinis alterius coni R. C. quae pariter nota est ijsdem partibus, & prodibit quantitas alterius coni in ijsdem numeris: nam, cum ex multiplicatione basis in totam altitudinem fiat cylindrus, qui cylindius est triplo maior cono eiusdem altitudinis, & basis, consequenter ex multiplicatione basis in tertiam partem altitudinis habebitur, ut terria pars cylindri, ita praecisa quantitas coni. Invenimus ergo in numeris proportionem partium sphaerae, quae secta fuit in dato puncto, quod erat faciendum. Linea denique A. E. & E. B. facile cognoscetur in partibus lineae A. B. quae duplicatum refert sinum totum (iam enim angulos E. A. B. & E. B. A. in numeris supra innotuerunt) cum in triangulo A. E. B. cogniti sint omnes anguli A. E. & B. & cognita sit etiam linea A. B. in numeris facile ex trigonometria cognoscuntur in ijsdem numeris reliqua latera: cognita ergo erunt omnia illa quatuor, quod erat faciendum.