Quaestio 6

¶ Questio sexta. exitux lexto quin puri continui doetur minima parsecde reie ioe exponatur affrmatine siue neoie to eciiiu. quia da eius oppositum quod a / est miinima pars huius continui: et tunc vel a / est imprtibilis vel partibilis. Si secundum. iam a non est paruum: quia magnum et paruum soli quanto conueniunt. ergo non est minima. Ista consequentia est nota ex ex positione propositionum de minimo. Si a / est partibilis: iam habet duas medietates tres tertias / quattuor quartas / quarum quelibet est minor a. ergo a non est minima pars ipsius continui. Eodem modo argumenta bor de qualibet alia parte.

¶ Sed contra ista conclusionem arguitur sic. In infinitum pearua est aliqua pars huius continui. ergo aliqua pars continui est infinite pauitatis: et illa nequit esse diuisibilis. ergo est indiuisibi lis. assumptum patet: alicuius parultatis est aliqua pars huius continui. et minoris peruitatis est aliqua pars huius continui. et illa minoris / et sic in infinitum.

¶ Respondetur. in infinitum perua est pars continni: sed nulla pars est infinite prua. sicut in simili: qualibet porte magnitudinis dabilis est aliqua pars minor. et qu libet parte magnitudinis dabilis est aliqua pars maior: sed nulla pars magnitudinis est minor parte magnitudinis: sicut nulla pars magnitudinis est maior parte magnitudinis¶ Si quaeras cum in infinitum perua est pars magnitudis: vel illa est diuisibilis vel indiuisibil Queris montes sine vallibus.

¶ Secundo arguitur. datur vltima pars proportionalis in continuo. et illa non est oiuisibilis ergo idisibilis.

¶ Forte dices: secuinum dicta in quaestione pocedente: datur punctum terminatiuum quod est peeius.

¶ Dico non est necesse ponere puncta terminatiua continuorum: tenendo positionem praecedentem. et sic quolibet puncto dato in continuo datur vnum post ipsum. Sed quicquid sit si detur vltima pars proportionalis in continuo quacumque diuisione capta multipli / simplici superparticulari / vel superpartienti vel ex his mixta: necesse est dare minimum. Capto quadrupedali ipsum diuidendo proportione dupla. priema pars proportionalis erit bipedalitas / secunda pedalitas / tertia semipedalitas / quaerta quaerta pars pedis. et sic sine statu procedendo secundum proportionem subduplam: cum quodlibet continuum componitur ex continuo. et infinitis continuis inequalibus: si detur vlti ma pars proportionalis oportet quod illa sit quanta. patet: per proportionem partis praecedentis. et ipsa se habebit in tali proportione ad partem subsequentem in quali se habebat ad partem precedentem. ergo secundum hanc positionem implicat dare vltimam partem propor tionalem / sicut secundum oppositam. probatur tamen anecens. datur prima pars proportionalis in continuo: ergo datur vltima: patet: illi termini relatiue opponuntur: et antecens est lucidum

¶ Respondetur: quod illa cosequentia non valet. nec illi termini relatiue opponuntur. sicut secund aristotelem oatur vltimus homo: et non primus. et si deus perpetuaret mundum a parte post (sicut est possibiledaretur primus homo: et non vltimus.

¶ Ex isto patet: quod istaconsequentia est nulla. a / est prima pars proportionalis b s continui. ergo est prima pars b continui. licet omnis priema pars proportionalis sit paras: tamen vnum comp exum scili cet pma pars proportionalis non est inferius ad aliud sicut non sequitur: albedo est nobilissimus color / ergo est nobilissima qualitas. tamen omnis color est qualitas. sicut vulgo dicitur: Otis magister est homo. sed non omnis magister paristensis est homo paristensis: vel animal parisiense.

¶ Tertio arguitur contra hanc conclusionem per Achillem zenonis qui nisus est improbare motum: sed non credo hunc doctum virum voluisse dirigere hoc argumentum ad hoc propositum tanquam concludens: cum hoc esset contra sensum. licet themistius in paraphrasi sexti phisicorum dicat iactabundus zenon verbis ampullosis in fine concludit quod equus velocissimus limacem capere nequit. Admittamus motum / accipientes eius argumentum sententialiter. Sint duo mobilia a / et b posita super vnum quadrupeda le. a in principio prime partis proportionalis: b in prin cipio secune. sic scllicet quando a / partransit suam primam partem proportionalem: b partranseat secundam. et hoc in prima parteproportionali horae. In secunda parte proportionali hore prtranseat b tertia partem proportionalem illiusspaciiet in eadem secunda parte proportionali partranseat a secunda: partem proportionalem illius spacii: scllicet pedale: sic scllicet quod continuo moueantur per partes proportionales hore continuo super singulas partes proportionales respondentes illius spacii: quando b erit in fine partis proportionalis sequentis a erit in fine partis proportionalis precedentis praecise. a / erit mobile velox. quia continuo velocius mouetur quam b. Tunc sic. in terdum vtrumque istorum mobilium erit extra istud spacium. Quod patet: in instanti terminanti horam praeterierunt infinite partes proportionales hore respondentes illis infinitis partibus proportionalibus spacii: et in instanti terminati illam horam b mobile tardum erit primo extra illud spacium in puncto terminatiuo illius spacii: ponendo punctum: et a mobile tunc erit super vltima partem proportionalem. Qud probo: vel a in illo instanti est super illud spacium vel extra illud spacium cum ipso b i non secundum. quamlibet partem proportionalem pertransiuit b mobile tardum ante a mobile velox. non loquaris de prima parte proportiona li quam brnon partransiuit. vel adde casui ante motum a b complete pertransiuit primam partem proportiona lem. tunc hanc partem proportionalem (demonstrando primam partem proportionalem) pertransiuit b mobile tardum ante a mobile velox. sic de secunda parte proportionali / tertia / quarta / et sic sine statu. ergo quamlibet partem proportionalem pertransiuit mobile tardum ante mobillevelox. et per consequens omnes partes proportionales pertransiuit ante mobile veclox. et quam primum omnes partes proportionales huius specii sunt partransite totum spacium est partransitum. ergo totum spacium est partransitum /b mobili tardo ante a mobile velox. et tunc sic a / mobile est super illud spaum: vel ergo super vltimam partem proportionalem: vel in puncto intercepto inter partes proportionales / et si illa pars non est vltima iam infinitas partes proportionales lucratum est b mobile super a / contra vpothesim. relinquitur ergo quod a / est super vltimam partem proportionalem quod remanebatpeobandum.

¶ Respondetur per propositiones.

¶ Prima. Quanlibet partem proportionalem secundum hanc diuisionem pertransiuit mobile tardum ante mobile velox hec propositio probata est interarguendum.

¶ Secunda propositio. Non quamlibet partem illius spacii partransiuit mobile tardum ante mobile velox: patet: non partransit secundam medietatem ante mobile velox. quamprimum secunda medietas est pertransita tota est pertransita

¶ Tertia propositio. Nlo omnes partes proportionales (capiendo omens collectiue) partransit b ante a patet quam primum omnes collectiue slunt partransite totum est partransitum.

¶ Quarta propositio. Non omnes partes proportionales (capiendo omnes distributiue) partransit mobile tardum ante mobile velox. patet de duabus vltimis quartis.

¶ Quinta propositio: in instanti terminanti hoa verum est dicere immediate ante hoc fuerunt infinite partes propor tionales partranseunde a b et nunc ones sunt partransite ab / et b nunc nec mouetur nec mutatur: et or dinate et successiue partransiuit illas omnes.

¶ Sexta propositio. In hoc instanti a mobile est primo ex tra totum spacium: per hoc demonstrando instans terminatiuum hore. Probatur. in hoc instanti primam partem proportionalem partransiuit secundam tertiam / et sic de qualibet alia. igitur.

¶ Ad formam ergo argumenti respondendo concedo quod quamlibet partem proportionalem illius spacii partransiuit b mobile ante a / et ratio in qua lepus argumenti iacet est. Cum a mobile velocius moueatur continuo que b semper magis et magis appropinquat ipsi b. in principio hore inter ea distabat bipedale in fine prime partis proportionalis hore praecise distabat pcdale. et sic in prima parte proportionali hore a lucratur super b vnum pedale. in fine secunde partis proportionalis hore distat inter illa mobilia semipedale. cum in instanti terminanti illam partem b est in fine tertie partis proportionalis spaci. et sic consequenter minus et minus mediat. et sic in infinitum propinquo a mobile accedet ipsi b et in nulla parte proportionali vel instanti illius hore capit b sed in iustanti terminanti horam / immo egreditur secum.

¶ Sed contra istud arguitur sic. Sequeretur quod si b mobile praecesisset a / per centum partes proportiona es: per mille: vel per quascumque finitas: quod a / eque cito partransisset illud spacium: quod est falsum. falsitas consequentis patet. semper b tenet suum antipodium mille partium precedendo. Et confirmatur hec ratio. Sequeretli eodem modo si super quamlibet partem proportionalenmillius continui poneretur vnus angelus. et quod quilibet illorum in prima parte proportionali hore pertransiret suam partem proportionalem: et in secunda parte proportionali hore sequentem. et sic sine statu: quod eque cito omnia ista mobilia pertransirent istud spactum: sed hoc est falsum.

¶ Respondetur concedendo illata tanquam correlaria. Et vbi dicebas vnum mobile tenet antipodium suum in mille partibus proportio¬ nalibus. licet teneat in quantitate discreta: non tamen in quantitate continua. licet centm posieri ores sint centum sicut priores: semper tamen sunt minores.

¶ Sed contra istud arguitur. Si essent infinita mobilia super infinitas partes proportionales huius continui: vnus angelus super primam partem proportionalem: alius super secundam: tertius super tertiam parte proportionalem: et ita super quamlibet partem proportionalenponatur vnus angelus. in prima parte proportionali hore future partranseat quilibet illorum partem proportionalem super quam est. simua nos in vltimo instanti non esse illius partis proportionalis horae. tunc per tein instanti terminante horam totum spacium erit partrasitum a quolibet istorum angelorum in illo instanti. Sed hoc oppugnatur: ex illo sequitur quod immedi ate post hoc spacium totum erit pertransitum a quolibet istorum angelorum. consequens est manifeste falsum: immo nullus istlorum angelorum immediate post hoc pertransibit totum istud spacium. patet inducendo per singulos. Primus non immediate post hoc pertransibit totum istud spaclum: nec secundus immediate post hoc pertransibit totum istud spacium: et sic de quolibet alio. Sed quod sequatur arguiur sic. immediate post hoc verum erit dicere quaelibet pars proportionalis huius spacii est pertransita quod primum quelibet pars proportionalis huius spacii est pertransita totum erit partransitum. igitur: consequentia tenet cum minore. probatur in aior quia prima pars proportionalis erit pertransita a suo mobili. identidem secunda a suo mobili. et sic de tertia / quarta / quinta / et sic de qualibet alia.

¶ Insuper: si hoc esset verum sequeretur quod si essent duo mobilia quorum vnum a in qualibet parte proportionali hore pertransiret vnam partem proportionalem illius spacn / et aliud b. in qualibet parte proportionali hore pertransiret mille partes proportionales / immo miliones partium: quod illa ous mobilia eque cito pertransirent illud spacium. hoc consequens est falsum. ergo et antecedens. conse quentia probatur. in instanti terminanti horam totum spacium erit ab vtroque illorum mobilium pertransitu. patet ex theorica cui innitimur. falsitas consequentis probatur. quando a / in prima parte proportionali hore pertransit vnam partem proportionalem: in eadem parte proportionali hore b pertram sit mille primas partes proportionales illius spacii: et sic in instanti terminanti primam partem proportionalem habebit. ix. c. xcix. in lucro super a. mobile. In secunda parte proportionali nihil de lucro amittit: sed eidem addit. igitur.

¶ Respondetur concedendo quod eque cito omnia illa mobilia pertransibunt illud spacium: quia in instanti terminanti horam primo spacium erit ab omnibus illis pertransitum. et concedo quod immediate post hoc verum est dicere quelibet pars proportionalis est pertransita: immo in illo instati quelibet pars est pertransita ab aliquo istorum mobilium. sed a nullo illorum mobilium quelibet pars est pertransita. sed hanc nego: quam primum quaelibet pars proportioalis est prtransita ab aliquo istorum mobilium totum est partran¬ situm. sed illa est vera quamprimum ab aliquo istorum mobilium quelibet pars est pertransita totum est pertram situm.

¶ Ad aliud concedo quod mobile quod partransit in qualibet parte proportionali hore mille partes non citius attinget terminum ad quem quam mobile: quod in qua libet parte proportionali partransit vnam partem proportionalem tantum. et sic occiditur Achilles zenonis.

¶ Quarto arguitur. capio quantum diuisum per partes proportionales minoribus pedem meum versus terminatis: et ipsum tangentibus. tota multitudo istarum partium proportionalium est immediata pedimeo. ergo aliqua est immediata pedi meo. vel incipiat vnum mobile per remotionem de presenti pertransire illas partes incipiendo a partibus minoribus. illud mobile super aliquam partem incipit moueri. et non nisi super vltimam.

¶ Sed hic dices (et sic dicendum est) tota multitudo istarum partium proportionalium (et nulla illarum) est immediata pedi meo.

¶ Ad aliud admittitur casus de illomobili. dicitur quod nullam partem proportionalem immediate post hoc pertransibit: sed immediate post hoc pertransibit vnam partem proportionalem: et immediate post hoc partransibit duas: et infinitas: sper ordinate mouendo. primo super vnam et postea super aliam sequentem. et sic esset si omnes ille partes proportionales essent diuise remanentes in eisdem sitibus in quibus erant: puta quod prima pars proportionalis maneat vbi prius erat. et secunda pars proportionalis seiuncta ab illa maneat vbi prlus erat: et sic de qualibet alia. iam nullum est continuum immediatum pedi meo.

¶ Accipito analogiam: si super quamlibet partem propor tionalem huius pedalis tangentis parietem minoribus partibus parietem versus terminatis poneretur vnus angelus: iam hec tota multitudo est immediata parieti: et nullus illorum angelorum est immediatus parieti. Prima pars est lucida: nihil mediat inter parietem et totam multitudinem. Secunda pars patet: nullus angelus est immediatus huic parieti. non primus: nec secundus: nec tertius: nec quartus: et sic de quolibet.

¶ Sed arguitur paulo apparentius sic mutando terminos. ponatur ex transuerso prime partis propor tionalis vnus asser: et cum hoc ponatur oculus sortis in fine minorumprtium proportionalium: sic quod asser sit visibile visum a sorte. In secunde partis proportionalis fine ponatur alius asser ex transuerso impediens sortem ne possit videre priorem: et ita locet deus infini tos asseres super infinitas partes proportionales / et eos tenuiter faciat secundum capacitatem peruarum partium proportionalium: saltem in radice contactus: superiores asseres condensando quo adsint opaci visum sortis im pedientes a visione partium precedentium. Tunc sic. sor tes in fine videt vnum asserem: et nullum nisi asserem supevltimam partem proportionalem exscuetem: immediate ante instans terminatiuum istius hore sortes vidit vnum asserem: et nunc nullum ponitur impedimentum inter oculum sortis et illos asseres. ergo videt aliquem illorum asserum.

¶ Similiter: si sortes tangat congeriem illorum asserum (et potissimum prope se) non est intelligibile quin tangat vnum primo: et non nisi prope finem.

¶ Sed hic epndetur. in qualibet parte proportionalim in¬ hore sortes vidit vnum asserem. et in instanti terminam ti horam nullum asserem videt. non primum: quia ille occultatur a secundo: nec secundue: quia ille occultatur a tertio: nec tertium: quia ille occultatur a quarto. et sic consequenter: sic scilicet quod visionem precedentis asseris: asser subsequens subripuit. ergo in instanti terminante illam hora nullum illorum asserum videt.

¶ Et quando dicis inmediate ante hoc videbat vnum asserem. et nunc nihil impedimenti producitur. ergo nunc videt vnum asserem: supposito quod applicet potentiam bene dispositam.

¶ Dicitur quod consequentia est nulla. sed opet dicere in atecete: nullum impedimentum est productum. cuiuslibet visionis que habetur de aliquo assere: impedimentum iam est productum per infinitos asseres: quorum semper posterior occultat priorem.

¶ Et sic de tactu digiti dicatur. sortes nullum asserem tangit. non primum / quia impeditur a secundo. non tertium: quia impeditur a quarto. et sic consequenter. Sed totum aggregatum tangit.

¶ Et sic dicatur de continuo cuius prima pars proportionalis est alba: secunda nigra: tertia alba. et sic alternatim. et si sortes accedat partes minores versus nullam partem albam tangit nec aliquam partem nigram tangit. Ro: cum quaelibet nigrasit alba posterior: et econuerso: sed congeriem partium albarum et nigrarum tangit. Ista non assueto videndifficilis imaginationis.